Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15167 / 6719
↖ ↑ ↗
← N 72.185165°
W 13.370361°		 ← 373.75 m → N 72.185165°
W 13.359375°		 →
↑
373.79 m
↓
↑
373.79 m
↓
N 72.181803°
W 13.370361°		 ← 373.82 m →
139 716 m²		 N 72.181803°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462875366210938 y=0.205062866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462875366210938 × 215)
    floor (0.462875366210938 × 32768)
    floor (15167.5)     		tx = 15167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205062866210938 × 215)
    floor (0.205062866210938 × 32768)
    floor (6719.5)     		ty = 6719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15167 / 6719 ti = "15/15167/6719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15167/6719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15167 ÷ 215
    15167 ÷ 32768     		x = 0.462860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6719 ÷ 215
    6719 ÷ 32768     		y = 0.205047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.07427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23335683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205047607421875 × 2 - 1) × π
    0.58990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85324053931137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23335683} λ = -0.23335683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85324053931137))-π/2
    2×atan(6.38046219641181)-π/2
    2×1.41533256391348-π/2
    2.83066512782696-1.57079632675     		φ = 1.25986880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23335683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25986880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.185165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15167 KachelY 6719 -0.23335683 1.25986880 -13.370361 72.185165
    Oben rechts KachelX + 1 15168 KachelY 6719 -0.23316508 1.25986880 -13.359375 72.185165
    Unten links KachelX 15167 KachelY + 1 6720 -0.23335683 1.25981013 -13.370361 72.181803
    Unten rechts KachelX + 1 15168 KachelY + 1 6720 -0.23316508 1.25981013 -13.359375 72.181803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25986880-1.25981013) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dl = 373.786570000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25986880-1.25981013) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dr = 373.786570000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23335683--0.23316508) × cos(1.25986880) × R
    0.000191749999999991 × 0.305941819998667 × 6371000     		do = 373.750535526788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23335683--0.23316508) × cos(1.25981013) × R
    0.000191749999999991 × 0.305997676257917 × 6371000     		du = 373.818771725446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25986880)-sin(1.25981013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305941819998667-0.305997676257917)×R²
    abs(-0.23316508--0.23335683)×5.58562592497536e-05×R²
    0.000191749999999991×5.58562592497536e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.58562592497536e-05×40589641000000     		ar = 139715.683638383m²