Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15167 / 3529
↖ ↑ ↗
← N 71.009811°
E153.259277°		 ← 795.04 m → N 71.009811°
E153.281250°		 →
↑
795.16 m
↓
↑
795.16 m
↓
N 71.002660°
E153.259277°		 ← 795.33 m →
632 300 m²		 N 71.002660°
E153.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925750732421875 y=0.215423583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925750732421875 × 214)
    floor (0.925750732421875 × 16384)
    floor (15167.5)     		tx = 15167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215423583984375 × 214)
    floor (0.215423583984375 × 16384)
    floor (3529.5)     		ty = 3529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15167 / 3529 ti = "14/15167/3529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15167/3529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15167 ÷ 214
    15167 ÷ 16384     		x = 0.92572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3529 ÷ 214
    3529 ÷ 16384     		y = 0.21539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92572021484375 × 2 - 1) × π
    0.8514404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.67487900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21539306640625 × 2 - 1) × π
    0.5692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78823810342657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67487900} λ = 2.67487900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78823810342657))-π/2
    2×atan(5.97890896161586)-π/2
    2×1.40507566509543-π/2
    2.81015133019086-1.57079632675     		φ = 1.23935500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67487900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23935500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.009811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15167 KachelY 3529 2.67487900 1.23935500 153.259277 71.009811
    Oben rechts KachelX + 1 15168 KachelY 3529 2.67526249 1.23935500 153.281250 71.009811
    Unten links KachelX 15167 KachelY + 1 3530 2.67487900 1.23923019 153.259277 71.002660
    Unten rechts KachelX + 1 15168 KachelY + 1 3530 2.67526249 1.23923019 153.281250 71.002660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23935500-1.23923019) × R
    0.000124809999999975 × 6371000     		dl = 795.164509999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23935500-1.23923019) × R
    0.000124809999999975 × 6371000     		dr = 795.164509999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67487900-2.67526249) × cos(1.23935500) × R
    0.000383490000000375 × 0.325406247514438 × 6371000     		do = 795.037356686454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67487900-2.67526249) × cos(1.23923019) × R
    0.000383490000000375 × 0.32552426210914 × 6371000     		du = 795.325691689666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23935500)-sin(1.23923019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325406247514438-0.32552426210914)×R²
    abs(2.67526249-2.67487900)×0.000118014594701787×R²
    0.000383490000000375×0.000118014594701787×6371000²
    0.000383490000000375×0.000118014594701787×40589641000000     		ar = 632300.127862931m²