Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15167 / 10323
↖ ↑ ↗
← N 55.260338°
W 13.370361°		 ← 696.15 m → N 55.260338°
W 13.359375°		 →
↑
696.22 m
↓
↑
696.22 m
↓
N 55.254077°
W 13.370361°		 ← 696.26 m →
484 713 m²		 N 55.254077°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462875366210938 y=0.315048217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462875366210938 × 215)
    floor (0.462875366210938 × 32768)
    floor (15167.5)     		tx = 15167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315048217773438 × 215)
    floor (0.315048217773438 × 32768)
    floor (10323.5)     		ty = 10323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15167 / 10323 ti = "15/15167/10323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15167/10323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15167 ÷ 215
    15167 ÷ 32768     		x = 0.462860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10323 ÷ 215
    10323 ÷ 32768     		y = 0.315032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.07427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23335683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315032958984375 × 2 - 1) × π
    0.36993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16218219438864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23335683} λ = -0.23335683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16218219438864))-π/2
    2×atan(3.19690193132624)-π/2
    2×1.26763558621864-π/2
    2.53527117243728-1.57079632675     		φ = 0.96447485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23335683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96447485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.260338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15167 KachelY 10323 -0.23335683 0.96447485 -13.370361 55.260338
    Oben rechts KachelX + 1 15168 KachelY 10323 -0.23316508 0.96447485 -13.359375 55.260338
    Unten links KachelX 15167 KachelY + 1 10324 -0.23335683 0.96436557 -13.370361 55.254077
    Unten rechts KachelX + 1 15168 KachelY + 1 10324 -0.23316508 0.96436557 -13.359375 55.254077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96447485-0.96436557) × R
    0.000109279999999989 × 6371000     		dl = 696.222879999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96447485-0.96436557) × R
    0.000109279999999989 × 6371000     		dr = 696.222879999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23335683--0.23316508) × cos(0.96447485) × R
    0.000191749999999991 × 0.569848496763531 × 6371000     		do = 696.149290199794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23335683--0.23316508) × cos(0.96436557) × R
    0.000191749999999991 × 0.569938294176034 × 6371000     		du = 696.258990243456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96447485)-sin(0.96436557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569848496763531-0.569938294176034)×R²
    abs(-0.23316508--0.23335683)×8.97974125028123e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97974125028123e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97974125028123e-05×40589641000000     		ar = 484713.252055112m²