Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15167 / 10183
↖ ↑ ↗
← N 56.127184°
W 13.370361°		 ← 680.88 m → N 56.127184°
W 13.359375°		 →
↑
680.93 m
↓
↑
680.93 m
↓
N 56.121060°
W 13.370361°		 ← 680.99 m →
463 672 m²		 N 56.121060°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462875366210938 y=0.310775756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462875366210938 × 215)
    floor (0.462875366210938 × 32768)
    floor (15167.5)     		tx = 15167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310775756835938 × 215)
    floor (0.310775756835938 × 32768)
    floor (10183.5)     		ty = 10183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15167 / 10183 ti = "15/15167/10183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15167/10183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15167 ÷ 215
    15167 ÷ 32768     		x = 0.462860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10183 ÷ 215
    10183 ÷ 32768     		y = 0.310760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.07427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23335683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310760498046875 × 2 - 1) × π
    0.37847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18902685817587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23335683} λ = -0.23335683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18902685817587))-π/2
    2×atan(3.28388396711734)-π/2
    2×1.27520024508682-π/2
    2.55040049017364-1.57079632675     		φ = 0.97960416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23335683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97960416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.127184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15167 KachelY 10183 -0.23335683 0.97960416 -13.370361 56.127184
    Oben rechts KachelX + 1 15168 KachelY 10183 -0.23316508 0.97960416 -13.359375 56.127184
    Unten links KachelX 15167 KachelY + 1 10184 -0.23335683 0.97949728 -13.370361 56.121060
    Unten rechts KachelX + 1 15168 KachelY + 1 10184 -0.23316508 0.97949728 -13.359375 56.121060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97960416-0.97949728) × R
    0.00010687999999992 × 6371000     		dl = 680.932479999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97960416-0.97949728) × R
    0.00010687999999992 × 6371000     		dr = 680.932479999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23335683--0.23316508) × cos(0.97960416) × R
    0.000191749999999991 × 0.55735124719703 × 6371000     		do = 680.882159612311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23335683--0.23316508) × cos(0.97949728) × R
    0.000191749999999991 × 0.557439983999297 × 6371000     		du = 680.990563972879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97960416)-sin(0.97949728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55735124719703-0.557439983999297)×R²
    abs(-0.23316508--0.23335683)×8.87368022666202e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87368022666202e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87368022666202e-05×40589641000000     		ar = 463671.685998954m²