Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15166 / 6742
↖ ↑ ↗
← N 72.107695°
W 13.381347°		 ← 375.30 m → N 72.107695°
W 13.370361°		 →
↑
375.32 m
↓
↑
375.32 m
↓
N 72.104320°
W 13.381347°		 ← 375.37 m →
140 870 m²		 N 72.104320°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462844848632812 y=0.205764770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462844848632812 × 215)
    floor (0.462844848632812 × 32768)
    floor (15166.5)     		tx = 15166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205764770507812 × 215)
    floor (0.205764770507812 × 32768)
    floor (6742.5)     		ty = 6742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15166 / 6742 ti = "15/15166/6742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15166/6742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15166 ÷ 215
    15166 ÷ 32768     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6742 ÷ 215
    6742 ÷ 32768     		y = 0.20574951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20574951171875 × 2 - 1) × π
    0.5885009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84883034454633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84883034454633))-π/2
    2×atan(6.35238507373225)-π/2
    2×1.41465651433393-π/2
    2.82931302866787-1.57079632675     		φ = 1.25851670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25851670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.107695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15166 KachelY 6742 -0.23354857 1.25851670 -13.381347 72.107695
    Oben rechts KachelX + 1 15167 KachelY 6742 -0.23335683 1.25851670 -13.370361 72.107695
    Unten links KachelX 15166 KachelY + 1 6743 -0.23354857 1.25845779 -13.381347 72.104320
    Unten rechts KachelX + 1 15167 KachelY + 1 6743 -0.23335683 1.25845779 -13.370361 72.104320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25851670-1.25845779) × R
    5.89099999999121e-05 × 6371000     		dl = 375.31560999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25851670-1.25845779) × R
    5.89099999999121e-05 × 6371000     		dr = 375.31560999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(1.25851670) × R
    0.000191740000000024 × 0.307228807038218 × 6371000     		do = 375.303195861312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(1.25845779) × R
    0.000191740000000024 × 0.307284867362766 × 6371000     		du = 375.371677782545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25851670)-sin(1.25845779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307228807038218-0.307284867362766)×R²
    abs(-0.23335683--0.23354857)×5.6060324548024e-05×R²
    0.000191740000000024×5.6060324548024e-05×6371000²
    0.000191740000000024×5.6060324548024e-05×40589641000000     		ar = 140869.999096595m²