Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15166 / 6591
↖ ↑ ↗
← N 72.610404°
W 13.381347°		 ← 365.09 m → N 72.610404°
W 13.370361°		 →
↑
365.12 m
↓
↑
365.12 m
↓
N 72.607120°
W 13.381347°		 ← 365.16 m →
133 314 m²		 N 72.607120°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462844848632812 y=0.201156616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462844848632812 × 215)
    floor (0.462844848632812 × 32768)
    floor (15166.5)     		tx = 15166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201156616210938 × 215)
    floor (0.201156616210938 × 32768)
    floor (6591.5)     		ty = 6591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15166 / 6591 ti = "15/15166/6591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15166/6591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15166 ÷ 215
    15166 ÷ 32768     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6591 ÷ 215
    6591 ÷ 32768     		y = 0.201141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201141357421875 × 2 - 1) × π
    0.59771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87778423191684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87778423191684))-π/2
    2×atan(6.53899989104523)-π/2
    2×1.41904347526316-π/2
    2.83808695052632-1.57079632675     		φ = 1.26729062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26729062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.610404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15166 KachelY 6591 -0.23354857 1.26729062 -13.381347 72.610404
    Oben rechts KachelX + 1 15167 KachelY 6591 -0.23335683 1.26729062 -13.370361 72.610404
    Unten links KachelX 15166 KachelY + 1 6592 -0.23354857 1.26723331 -13.381347 72.607120
    Unten rechts KachelX + 1 15167 KachelY + 1 6592 -0.23335683 1.26723331 -13.370361 72.607120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26729062-1.26723331) × R
    5.73100000000881e-05 × 6371000     		dl = 365.122010000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26729062-1.26723331) × R
    5.73100000000881e-05 × 6371000     		dr = 365.122010000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(1.26729062) × R
    0.000191740000000024 × 0.298867513455687 × 6371000     		do = 365.089244138133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(1.26723331) × R
    0.000191740000000024 × 0.298922203589153 × 6371000     		du = 365.156052267454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26729062)-sin(1.26723331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298867513455687-0.298922203589153)×R²
    abs(-0.23335683--0.23354857)×5.46901334655958e-05×R²
    0.000191740000000024×5.46901334655958e-05×6371000²
    0.000191740000000024×5.46901334655958e-05×40589641000000     		ar = 133314.315245045m²