Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15166 / 14018
↖ ↑ ↗
← N 25.145285°
W 13.381347°		 ← 1 105.81 m → N 25.145285°
W 13.370361°		 →
↑
1 105.94 m
↓
↑
1 105.94 m
↓
N 25.135339°
W 13.381347°		 ← 1 105.90 m →
1 223 012 m²		 N 25.135339°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462844848632812 y=0.427810668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462844848632812 × 215)
    floor (0.462844848632812 × 32768)
    floor (15166.5)     		tx = 15166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427810668945312 × 215)
    floor (0.427810668945312 × 32768)
    floor (14018.5)     		ty = 14018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15166 / 14018 ti = "15/15166/14018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15166/14018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15166 ÷ 215
    15166 ÷ 32768     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14018 ÷ 215
    14018 ÷ 32768     		y = 0.42779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42779541015625 × 2 - 1) × π
    0.1444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.453674818004211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453674818004211))-π/2
    2×atan(1.57408604979823)-π/2
    2×1.00483216729534-π/2
    2.00966433459067-1.57079632675     		φ = 0.43886801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43886801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.145285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15166 KachelY 14018 -0.23354857 0.43886801 -13.381347 25.145285
    Oben rechts KachelX + 1 15167 KachelY 14018 -0.23335683 0.43886801 -13.370361 25.145285
    Unten links KachelX 15166 KachelY + 1 14019 -0.23354857 0.43869442 -13.381347 25.135339
    Unten rechts KachelX + 1 15167 KachelY + 1 14019 -0.23335683 0.43869442 -13.370361 25.135339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43886801-0.43869442) × R
    0.000173590000000001 × 6371000     		dl = 1105.94189000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43886801-0.43869442) × R
    0.000173590000000001 × 6371000     		dr = 1105.94189000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(0.43886801) × R
    0.000191740000000024 × 0.905233242657106 × 6371000     		do = 1105.81078722494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(0.43869442) × R
    0.000191740000000024 × 0.905306990016583 × 6371000     		du = 1105.90087519542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43886801)-sin(0.43869442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905233242657106-0.905306990016583)×R²
    abs(-0.23335683--0.23354857)×7.3747359476406e-05×R²
    0.000191740000000024×7.3747359476406e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.3747359476406e-05×40589641000000     		ar = 1223012.29110717m²