Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15166 / 14015
↖ ↑ ↗
← N 25.175116°
W 13.381347°		 ← 1 105.54 m → N 25.175116°
W 13.370361°		 →
↑
1 105.62 m
↓
↑
1 105.62 m
↓
N 25.165173°
W 13.381347°		 ← 1 105.63 m →
1 222 361 m²		 N 25.165173°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462844848632812 y=0.427719116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462844848632812 × 215)
    floor (0.462844848632812 × 32768)
    floor (15166.5)     		tx = 15166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427719116210938 × 215)
    floor (0.427719116210938 × 32768)
    floor (14015.5)     		ty = 14015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15166 / 14015 ti = "15/15166/14015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15166/14015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15166 ÷ 215
    15166 ÷ 32768     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14015 ÷ 215
    14015 ÷ 32768     		y = 0.427703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427703857421875 × 2 - 1) × π
    0.14459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.454250060799652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454250060799652))-π/2
    2×atan(1.57499179194363)-π/2
    2×1.0050924999166-π/2
    2.0101849998332-1.57079632675     		φ = 0.43938867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43938867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.175116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15166 KachelY 14015 -0.23354857 0.43938867 -13.381347 25.175116
    Oben rechts KachelX + 1 15167 KachelY 14015 -0.23335683 0.43938867 -13.370361 25.175116
    Unten links KachelX 15166 KachelY + 1 14016 -0.23354857 0.43921513 -13.381347 25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 15167 KachelY + 1 14016 -0.23335683 0.43921513 -13.370361 25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43938867-0.43921513) × R
    0.000173539999999972 × 6371000     		dl = 1105.62333999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43938867-0.43921513) × R
    0.000173539999999972 × 6371000     		dr = 1105.62333999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(0.43938867) × R
    0.000191740000000024 × 0.905011883713056 × 6371000     		do = 1105.54038055333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(0.43921513) × R
    0.000191740000000024 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 1105.63054248788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43938867)-sin(0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905011883713056-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.23335683--0.23354857)×7.38079075698339e-05×R²
    0.000191740000000024×7.38079075698339e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.38079075698339e-05×40589641000000     		ar = 1222361.09368927m²