Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15166 / 10182
↖ ↑ ↗
← N 56.133307°
W 13.381347°		 ← 680.74 m → N 56.133307°
W 13.370361°		 →
↑
680.87 m
↓
↑
680.87 m
↓
N 56.127184°
W 13.381347°		 ← 680.85 m →
463 530 m²		 N 56.127184°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462844848632812 y=0.310745239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462844848632812 × 215)
    floor (0.462844848632812 × 32768)
    floor (15166.5)     		tx = 15166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310745239257812 × 215)
    floor (0.310745239257812 × 32768)
    floor (10182.5)     		ty = 10182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15166 / 10182 ti = "15/15166/10182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15166/10182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15166 ÷ 215
    15166 ÷ 32768     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10182 ÷ 215
    10182 ÷ 32768     		y = 0.31072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31072998046875 × 2 - 1) × π
    0.3785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18921860577435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18921860577435))-π/2
    2×atan(3.28451370435509)-π/2
    2×1.2752536762147-π/2
    2.5505073524294-1.57079632675     		φ = 0.97971103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97971103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.133307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15166 KachelY 10182 -0.23354857 0.97971103 -13.381347 56.133307
    Oben rechts KachelX + 1 15167 KachelY 10182 -0.23335683 0.97971103 -13.370361 56.133307
    Unten links KachelX 15166 KachelY + 1 10183 -0.23354857 0.97960416 -13.381347 56.127184
    Unten rechts KachelX + 1 15167 KachelY + 1 10183 -0.23335683 0.97960416 -13.370361 56.127184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97971103-0.97960416) × R
    0.000106870000000092 × 6371000     		dl = 680.868770000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97971103-0.97960416) × R
    0.000106870000000092 × 6371000     		dr = 680.868770000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(0.97971103) × R
    0.000191740000000024 × 0.557262512331318 × 6371000     		do = 680.73825442297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23335683) × cos(0.97960416) × R
    0.000191740000000024 × 0.55735124719703 × 6371000     		du = 680.846650764469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97971103)-sin(0.97960416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557262512331318-0.55735124719703)×R²
    abs(-0.23335683--0.23354857)×8.87348657127029e-05×R²
    0.000191740000000024×8.87348657127029e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.87348657127029e-05×40589641000000     		ar = 463530.320264007m²