Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15165 / 14017
↖ ↑ ↗
← N 25.155230°
W 13.392334°		 ← 1 105.78 m → N 25.155230°
W 13.381347°		 →
↑
1 105.81 m
↓
↑
1 105.81 m
↓
N 25.145285°
W 13.392334°		 ← 1 105.87 m →
1 222 836 m²		 N 25.145285°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462814331054688 y=0.427780151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462814331054688 × 215)
    floor (0.462814331054688 × 32768)
    floor (15165.5)     		tx = 15165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427780151367188 × 215)
    floor (0.427780151367188 × 32768)
    floor (14017.5)     		ty = 14017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15165 / 14017 ti = "15/15165/14017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15165/14017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15165 ÷ 215
    15165 ÷ 32768     		x = 0.462799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14017 ÷ 215
    14017 ÷ 32768     		y = 0.427764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.07440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23374032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427764892578125 × 2 - 1) × π
    0.14447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.453866565602692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23374032} λ = -0.23374032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453866565602692))-π/2
    2×atan(1.57438790595725)-π/2
    2×1.00491895190966-π/2
    2.00983790381933-1.57079632675     		φ = 0.43904158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23374032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43904158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.155230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15165 KachelY 14017 -0.23374032 0.43904158 -13.392334 25.155230
    Oben rechts KachelX + 1 15166 KachelY 14017 -0.23354857 0.43904158 -13.381347 25.155230
    Unten links KachelX 15165 KachelY + 1 14018 -0.23374032 0.43886801 -13.392334 25.145285
    Unten rechts KachelX + 1 15166 KachelY + 1 14018 -0.23354857 0.43886801 -13.381347 25.145285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43904158-0.43886801) × R
    0.000173570000000012 × 6371000     		dl = 1105.81447000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43904158-0.43886801) × R
    0.000173570000000012 × 6371000     		dr = 1105.81447000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23374032--0.23354857) × cos(0.43904158) × R
    0.000191749999999991 × 0.905159476521238 × 6371000     		do = 1105.77834402774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23374032--0.23354857) × cos(0.43886801) × R
    0.000191749999999991 × 0.905233242657106 × 6371000     		du = 1105.86845963464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43904158)-sin(0.43886801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905159476521238-0.905233242657106)×R²
    abs(-0.23354857--0.23374032)×7.37661358686248e-05×R²
    0.000191749999999991×7.37661358686248e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.37661358686248e-05×40589641000000     		ar = 1222835.52207961m²