Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15165 / 14014
↖ ↑ ↗
← N 25.185059°
W 13.392334°		 ← 1 105.51 m → N 25.185059°
W 13.381347°		 →
↑
1 105.56 m
↓
↑
1 105.56 m
↓
N 25.175116°
W 13.392334°		 ← 1 105.60 m →
1 222 255 m²		 N 25.175116°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462814331054688 y=0.427688598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462814331054688 × 215)
    floor (0.462814331054688 × 32768)
    floor (15165.5)     		tx = 15165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427688598632812 × 215)
    floor (0.427688598632812 × 32768)
    floor (14014.5)     		ty = 14014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15165 / 14014 ti = "15/15165/14014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15165/14014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15165 ÷ 215
    15165 ÷ 32768     		x = 0.462799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14014 ÷ 215
    14014 ÷ 32768     		y = 0.42767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.07440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23374032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42767333984375 × 2 - 1) × π
    0.1446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454441808398132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23374032} λ = -0.23374032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454441808398132))-π/2
    2×atan(1.57529382179318)-π/2
    2×1.00517926330514-π/2
    2.01035852661027-1.57079632675     		φ = 0.43956220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23374032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43956220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.185059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15165 KachelY 14014 -0.23374032 0.43956220 -13.392334 25.185059
    Oben rechts KachelX + 1 15166 KachelY 14014 -0.23354857 0.43956220 -13.381347 25.185059
    Unten links KachelX 15165 KachelY + 1 14015 -0.23374032 0.43938867 -13.392334 25.175116
    Unten rechts KachelX + 1 15166 KachelY + 1 14015 -0.23354857 0.43938867 -13.381347 25.175116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43956220-0.43938867) × R
    0.000173530000000033 × 6371000     		dl = 1105.55963000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43956220-0.43938867) × R
    0.000173530000000033 × 6371000     		dr = 1105.55963000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23374032--0.23354857) × cos(0.43956220) × R
    0.000191749999999991 × 0.904938052805463 × 6371000     		do = 1105.50784412567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23374032--0.23354857) × cos(0.43938867) × R
    0.000191749999999991 × 0.905011883713056 × 6371000     		du = 1105.59803886025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43956220)-sin(0.43938867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904938052805463-0.905011883713056)×R²
    abs(-0.23354857--0.23374032)×7.38309075934973e-05×R²
    0.000191749999999991×7.38309075934973e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.38309075934973e-05×40589641000000     		ar = 1222254.7040099m²