Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15165 / 10290
↖ ↑ ↗
← N 55.466399°
W 13.392334°		 ← 692.53 m → N 55.466399°
W 13.381347°		 →
↑
692.59 m
↓
↑
692.59 m
↓
N 55.460171°
W 13.392334°		 ← 692.64 m →
479 681 m²		 N 55.460171°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462814331054688 y=0.314041137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462814331054688 × 215)
    floor (0.462814331054688 × 32768)
    floor (15165.5)     		tx = 15165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314041137695312 × 215)
    floor (0.314041137695312 × 32768)
    floor (10290.5)     		ty = 10290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15165 / 10290 ti = "15/15165/10290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15165/10290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15165 ÷ 215
    15165 ÷ 32768     		x = 0.462799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10290 ÷ 215
    10290 ÷ 32768     		y = 0.31402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.07440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23374032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31402587890625 × 2 - 1) × π
    0.3719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16850986513849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23374032} λ = -0.23374032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16850986513849))-π/2
    2×atan(3.21719501041851)-π/2
    2×1.26943380995139-π/2
    2.53886761990277-1.57079632675     		φ = 0.96807129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23374032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96807129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.466399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15165 KachelY 10290 -0.23374032 0.96807129 -13.392334 55.466399
    Oben rechts KachelX + 1 15166 KachelY 10290 -0.23354857 0.96807129 -13.381347 55.466399
    Unten links KachelX 15165 KachelY + 1 10291 -0.23374032 0.96796258 -13.392334 55.460171
    Unten rechts KachelX + 1 15166 KachelY + 1 10291 -0.23354857 0.96796258 -13.381347 55.460171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96807129-0.96796258) × R
    0.000108710000000012 × 6371000     		dl = 692.591410000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96807129-0.96796258) × R
    0.000108710000000012 × 6371000     		dr = 692.591410000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23374032--0.23354857) × cos(0.96807129) × R
    0.000191749999999991 × 0.56688944406332 × 6371000     		do = 692.534395278397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23374032--0.23354857) × cos(0.96796258) × R
    0.000191749999999991 × 0.566978995346225 × 6371000     		du = 692.643794640481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96807129)-sin(0.96796258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56688944406332-0.566978995346225)×R²
    abs(-0.23354857--0.23374032)×8.95512829051093e-05×R²
    0.000191749999999991×8.95512829051093e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.95512829051093e-05×40589641000000     		ar = 479681.258300761m²