Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15164 / 6730
↖ ↑ ↗
← N 72.148155°
W 13.403320°		 ← 374.50 m → N 72.148155°
W 13.392334°		 →
↑
374.49 m
↓
↑
374.49 m
↓
N 72.144787°
W 13.403320°		 ← 374.57 m →
140 259 m²		 N 72.144787°
W 13.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462783813476562 y=0.205398559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462783813476562 × 215)
    floor (0.462783813476562 × 32768)
    floor (15164.5)     		tx = 15164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205398559570312 × 215)
    floor (0.205398559570312 × 32768)
    floor (6730.5)     		ty = 6730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15164 / 6730 ti = "15/15164/6730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15164/6730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15164 ÷ 215
    15164 ÷ 32768     		x = 0.4627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6730 ÷ 215
    6730 ÷ 32768     		y = 0.20538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23393207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20538330078125 × 2 - 1) × π
    0.5892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85113131572809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23393207} λ = -0.23393207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85113131572809))-π/2
    2×atan(6.36701855787865)-π/2
    2×1.41500958991464-π/2
    2.83001917982928-1.57079632675     		φ = 1.25922285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23393207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25922285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.148155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15164 KachelY 6730 -0.23393207 1.25922285 -13.403320 72.148155
    Oben rechts KachelX + 1 15165 KachelY 6730 -0.23374032 1.25922285 -13.392334 72.148155
    Unten links KachelX 15164 KachelY + 1 6731 -0.23393207 1.25916407 -13.403320 72.144787
    Unten rechts KachelX + 1 15165 KachelY + 1 6731 -0.23374032 1.25916407 -13.392334 72.144787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25922285-1.25916407) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dl = 374.48738000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25922285-1.25916407) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dr = 374.48738000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23393207--0.23374032) × cos(1.25922285) × R
    0.000191749999999991 × 0.306556732961866 × 6371000     		do = 374.501737337966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23393207--0.23374032) × cos(1.25916407) × R
    0.000191749999999991 × 0.306612682315639 × 6371000     		du = 374.570087264547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25922285)-sin(1.25916407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306556732961866-0.306612682315639)×R²
    abs(-0.23374032--0.23393207)×5.59493537730105e-05×R²
    0.000191749999999991×5.59493537730105e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.59493537730105e-05×40589641000000     		ar = 140258.972553933m²