Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15164 / 19740
↖ ↑ ↗
← S 34.560859°
W 13.403320°		 ← 1 006.05 m → S 34.560859°
W 13.392334°		 →
↑
1 005.98 m
↓
↑
1 005.98 m
↓
S 34.569906°
W 13.403320°		 ← 1 005.94 m →
1 012 011 m²		 S 34.569906°
W 13.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462783813476562 y=0.602432250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462783813476562 × 215)
    floor (0.462783813476562 × 32768)
    floor (15164.5)     		tx = 15164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602432250976562 × 215)
    floor (0.602432250976562 × 32768)
    floor (19740.5)     		ty = 19740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15164 / 19740 ti = "15/15164/19740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15164/19740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15164 ÷ 215
    15164 ÷ 32768     		x = 0.4627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19740 ÷ 215
    19740 ÷ 32768     		y = 0.6024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23393207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.204833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.643504940499634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23393207} λ = -0.23393207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643504940499634))-π/2
    2×atan(0.525447530480601)-π/2
    2×0.483797769267853-π/2
    0.967595538535707-1.57079632675     		φ = -0.60320079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23393207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60320079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.560859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15164 KachelY 19740 -0.23393207 -0.60320079 -13.403320 -34.560859
    Oben rechts KachelX + 1 15165 KachelY 19740 -0.23374032 -0.60320079 -13.392334 -34.560859
    Unten links KachelX 15164 KachelY + 1 19741 -0.23393207 -0.60335869 -13.403320 -34.569906
    Unten rechts KachelX + 1 15165 KachelY + 1 19741 -0.23374032 -0.60335869 -13.392334 -34.569906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60320079--0.60335869) × R
    0.000157899999999933 × 6371000     		dl = 1005.98089999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60320079--0.60335869) × R
    0.000157899999999933 × 6371000     		dr = 1005.98089999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23393207--0.23374032) × cos(-0.60320079) × R
    0.000191749999999991 × 0.823524088211799 × 6371000     		do = 1006.04934947995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23393207--0.23374032) × cos(-0.60335869) × R
    0.000191749999999991 × 0.823434504228291 × 6371000     		du = 1005.93991016952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60320079)-sin(-0.60335869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823524088211799-0.823434504228291)×R²
    abs(-0.23374032--0.23393207)×8.95839835082235e-05×R²
    0.000191749999999991×8.95839835082235e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.95839835082235e-05×40589641000000     		ar = 1012011.38520901m²