Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15163 / 21115
↖ ↑ ↗
← S 46.035109°
W 13.414307°		 ← 848.08 m → S 46.035109°
W 13.403320°		 →
↑
847.98 m
↓
↑
847.98 m
↓
S 46.042735°
W 13.414307°		 ← 847.97 m →
719 108 m²		 S 46.042735°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462753295898438 y=0.644393920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462753295898438 × 215)
    floor (0.462753295898438 × 32768)
    floor (15163.5)     		tx = 15163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644393920898438 × 215)
    floor (0.644393920898438 × 32768)
    floor (21115.5)     		ty = 21115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15163 / 21115 ti = "15/15163/21115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15163/21115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15163 ÷ 215
    15163 ÷ 32768     		x = 0.462738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21115 ÷ 215
    21115 ÷ 32768     		y = 0.644378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.07452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23412382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.28875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.907157888409943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23412382} λ = -0.23412382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907157888409943))-π/2
    2×atan(0.403669870051782)-π/2
    2×0.383666049185346-π/2
    0.767332098370692-1.57079632675     		φ = -0.80346423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23412382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80346423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.035109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15163 KachelY 21115 -0.23412382 -0.80346423 -13.414307 -46.035109
    Oben rechts KachelX + 1 15164 KachelY 21115 -0.23393207 -0.80346423 -13.403320 -46.035109
    Unten links KachelX 15163 KachelY + 1 21116 -0.23412382 -0.80359733 -13.414307 -46.042735
    Unten rechts KachelX + 1 15164 KachelY + 1 21116 -0.23393207 -0.80359733 -13.403320 -46.042735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80346423--0.80359733) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dl = 847.980099999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80346423--0.80359733) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dr = 847.980099999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23412382--0.23393207) × cos(-0.80346423) × R
    0.000191750000000018 × 0.694217447280994 × 6371000     		do = 848.083281633349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23412382--0.23393207) × cos(-0.80359733) × R
    0.000191750000000018 × 0.694121640366091 × 6371000     		du = 847.966240145683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80346423)-sin(-0.80359733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694217447280994-0.694121640366091)×R²
    abs(-0.23393207--0.23412382)×9.58069149025187e-05×R²
    0.000191750000000018×9.58069149025187e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.58069149025187e-05×40589641000000     		ar = 719108.122603519m²