Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15162 / 8458
↖ ↑ ↗
← N 65.321005°
W 13.425293°		 ← 510.08 m → N 65.321005°
W 13.414307°		 →
↑
510.13 m
↓
↑
510.13 m
↓
N 65.316417°
W 13.425293°		 ← 510.16 m →
260 226 m²		 N 65.316417°
W 13.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462722778320312 y=0.258132934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462722778320312 × 215)
    floor (0.462722778320312 × 32768)
    floor (15162.5)     		tx = 15162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258132934570312 × 215)
    floor (0.258132934570312 × 32768)
    floor (8458.5)     		ty = 8458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15162 / 8458 ti = "15/15162/8458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15162/8458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15162 ÷ 215
    15162 ÷ 32768     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8458 ÷ 215
    8458 ÷ 32768     		y = 0.25811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25811767578125 × 2 - 1) × π
    0.4837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51979146555426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51979146555426))-π/2
    2×atan(4.57127182810368)-π/2
    2×1.35543146896645-π/2
    2.71086293793291-1.57079632675     		φ = 1.14006661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14006661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.321005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15162 KachelY 8458 -0.23431557 1.14006661 -13.425293 65.321005
    Oben rechts KachelX + 1 15163 KachelY 8458 -0.23412382 1.14006661 -13.414307 65.321005
    Unten links KachelX 15162 KachelY + 1 8459 -0.23431557 1.13998654 -13.425293 65.316417
    Unten rechts KachelX + 1 15163 KachelY + 1 8459 -0.23412382 1.13998654 -13.414307 65.316417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14006661-1.13998654) × R
    8.00700000000987e-05 × 6371000     		dl = 510.125970000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14006661-1.13998654) × R
    8.00700000000987e-05 × 6371000     		dr = 510.125970000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23412382) × cos(1.14006661) × R
    0.000191749999999991 × 0.417533978954816 × 6371000     		do = 510.075896899852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23412382) × cos(1.13998654) × R
    0.000191749999999991 × 0.417606734127387 × 6371000     		du = 510.164777474306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14006661)-sin(1.13998654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417533978954816-0.417606734127387)×R²
    abs(-0.23412382--0.23431557)×7.27551725717146e-05×R²
    0.000191749999999991×7.27551725717146e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.27551725717146e-05×40589641000000     		ar = 260225.631963913m²