Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15162 / 8403
↖ ↑ ↗
← N 65.572094°
W 13.425293°		 ← 505.21 m → N 65.572094°
W 13.414307°		 →
↑
505.28 m
↓
↑
505.28 m
↓
N 65.567549°
W 13.425293°		 ← 505.29 m →
255 295 m²		 N 65.567549°
W 13.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462722778320312 y=0.256454467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462722778320312 × 215)
    floor (0.462722778320312 × 32768)
    floor (15162.5)     		tx = 15162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256454467773438 × 215)
    floor (0.256454467773438 × 32768)
    floor (8403.5)     		ty = 8403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15162 / 8403 ti = "15/15162/8403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15162/8403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15162 ÷ 215
    15162 ÷ 32768     		x = 0.46270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8403 ÷ 215
    8403 ÷ 32768     		y = 0.256439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256439208984375 × 2 - 1) × π
    0.48712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53033758347067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23431557} λ = -0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53033758347067))-π/2
    2×atan(4.61973610563897)-π/2
    2×1.35762262764533-π/2
    2.71524525529067-1.57079632675     		φ = 1.14444893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14444893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.572094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15162 KachelY 8403 -0.23431557 1.14444893 -13.425293 65.572094
    Oben rechts KachelX + 1 15163 KachelY 8403 -0.23412382 1.14444893 -13.414307 65.572094
    Unten links KachelX 15162 KachelY + 1 8404 -0.23431557 1.14436962 -13.425293 65.567549
    Unten rechts KachelX + 1 15163 KachelY + 1 8404 -0.23412382 1.14436962 -13.414307 65.567549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14444893-1.14436962) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dl = 505.284010000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14444893-1.14436962) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dr = 505.284010000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23431557--0.23412382) × cos(1.14444893) × R
    0.000191749999999991 × 0.413547937761185 × 6371000     		do = 505.206392525596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23431557--0.23412382) × cos(1.14436962) × R
    0.000191749999999991 × 0.413620146815381 × 6371000     		du = 505.294605940407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14444893)-sin(1.14436962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413547937761185-0.413620146815381)×R²
    abs(-0.23412382--0.23431557)×7.22090541963039e-05×R²
    0.000191749999999991×7.22090541963039e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.22090541963039e-05×40589641000000     		ar = 255294.998440639m²