Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15161 / 8483
↖ ↑ ↗
← N 65.206076°
W 13.436279°		 ← 512.27 m → N 65.206076°
W 13.425293°		 →
↑
512.36 m
↓
↑
512.36 m
↓
N 65.201468°
W 13.436279°		 ← 512.36 m →
262 490 m²		 N 65.201468°
W 13.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462692260742188 y=0.258895874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462692260742188 × 215)
    floor (0.462692260742188 × 32768)
    floor (15161.5)     		tx = 15161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258895874023438 × 215)
    floor (0.258895874023438 × 32768)
    floor (8483.5)     		ty = 8483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15161 / 8483 ti = "15/15161/8483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15161/8483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15161 ÷ 215
    15161 ÷ 32768     		x = 0.462677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8483 ÷ 215
    8483 ÷ 32768     		y = 0.258880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.07464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23450731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258880615234375 × 2 - 1) × π
    0.48223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51499777559225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23450731} λ = -0.23450731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51499777559225))-π/2
    2×atan(4.54941100708931)-π/2
    2×1.35442852266612-π/2
    2.70885704533224-1.57079632675     		φ = 1.13806072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23450731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.436279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13806072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.206076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15161 KachelY 8483 -0.23450731 1.13806072 -13.436279 65.206076
    Oben rechts KachelX + 1 15162 KachelY 8483 -0.23431557 1.13806072 -13.425293 65.206076
    Unten links KachelX 15161 KachelY + 1 8484 -0.23450731 1.13798030 -13.436279 65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 15162 KachelY + 1 8484 -0.23431557 1.13798030 -13.425293 65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13806072-1.13798030) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dl = 512.355819999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13806072-1.13798030) × R
    8.041999999997e-05 × 6371000     		dr = 512.355819999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23450731--0.23431557) × cos(1.13806072) × R
    0.000191739999999996 × 0.419355812374319 × 6371000     		do = 512.274802953287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23450731--0.23431557) × cos(1.13798030) × R
    0.000191739999999996 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 512.363984912981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13806072)-sin(1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419355812374319-0.419428818059824)×R²
    abs(-0.23431557--0.23450731)×7.3005685505112e-05×R²
    0.000191739999999996×7.3005685505112e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.3005685505112e-05×40589641000000     		ar = 262489.823322224m²