Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15161 / 6739
↖ ↑ ↗
← N 72.117818°
W 13.436279°		 ← 375.10 m → N 72.117818°
W 13.425293°		 →
↑
375.12 m
↓
↑
375.12 m
↓
N 72.114445°
W 13.436279°		 ← 375.17 m →
140 721 m²		 N 72.114445°
W 13.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462692260742188 y=0.205673217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462692260742188 × 215)
    floor (0.462692260742188 × 32768)
    floor (15161.5)     		tx = 15161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205673217773438 × 215)
    floor (0.205673217773438 × 32768)
    floor (6739.5)     		ty = 6739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15161 / 6739 ti = "15/15161/6739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15161/6739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15161 ÷ 215
    15161 ÷ 32768     		x = 0.462677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6739 ÷ 215
    6739 ÷ 32768     		y = 0.205657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.07464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23450731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205657958984375 × 2 - 1) × π
    0.58868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84940558734177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23450731} λ = -0.23450731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84940558734177))-π/2
    2×atan(6.35604028869703)-π/2
    2×1.41474485572966-π/2
    2.82948971145932-1.57079632675     		φ = 1.25869338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23450731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.436279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25869338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.117818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15161 KachelY 6739 -0.23450731 1.25869338 -13.436279 72.117818
    Oben rechts KachelX + 1 15162 KachelY 6739 -0.23431557 1.25869338 -13.425293 72.117818
    Unten links KachelX 15161 KachelY + 1 6740 -0.23450731 1.25863450 -13.436279 72.114445
    Unten rechts KachelX + 1 15162 KachelY + 1 6740 -0.23431557 1.25863450 -13.425293 72.114445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25869338-1.25863450) × R
    5.88799999998724e-05 × 6371000     		dl = 375.124479999187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25869338-1.25863450) × R
    5.88799999998724e-05 × 6371000     		dr = 375.124479999187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23450731--0.23431557) × cos(1.25869338) × R
    0.000191739999999996 × 0.30706066725263 × 6371000     		do = 375.097800411883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23450731--0.23431557) × cos(1.25863450) × R
    0.000191739999999996 × 0.307116702224143 × 6371000     		du = 375.166251362469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25869338)-sin(1.25863450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30706066725263-0.307116702224143)×R²
    abs(-0.23431557--0.23450731)×5.60349715136854e-05×R²
    0.000191739999999996×5.60349715136854e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.60349715136854e-05×40589641000000     		ar = 140721.206182965m²