Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15160 / 21109
↖ ↑ ↗
← S 45.989329°
W 13.447266°		 ← 848.79 m → S 45.989329°
W 13.436279°		 →
↑
848.74 m
↓
↑
848.74 m
↓
S 45.996962°
W 13.447266°		 ← 848.67 m →
720 353 m²		 S 45.996962°
W 13.436279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462661743164062 y=0.644210815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462661743164062 × 215)
    floor (0.462661743164062 × 32768)
    floor (15160.5)     		tx = 15160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644210815429688 × 215)
    floor (0.644210815429688 × 32768)
    floor (21109.5)     		ty = 21109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15160 / 21109 ti = "15/15160/21109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15160/21109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15160 ÷ 215
    15160 ÷ 32768     		x = 0.462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21109 ÷ 215
    21109 ÷ 32768     		y = 0.644195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.28839111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.906007402819061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23469906} λ = -0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906007402819061))-π/2
    2×atan(0.404134553675401)-π/2
    2×0.384065558118311-π/2
    0.768131116236623-1.57079632675     		φ = -0.80266521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80266521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.989329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15160 KachelY 21109 -0.23469906 -0.80266521 -13.447266 -45.989329
    Oben rechts KachelX + 1 15161 KachelY 21109 -0.23450731 -0.80266521 -13.436279 -45.989329
    Unten links KachelX 15160 KachelY + 1 21110 -0.23469906 -0.80279843 -13.447266 -45.996962
    Unten rechts KachelX + 1 15161 KachelY + 1 21110 -0.23450731 -0.80279843 -13.436279 -45.996962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80266521--0.80279843) × R
    0.000133219999999934 × 6371000     		dl = 848.744619999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80266521--0.80279843) × R
    0.000133219999999934 × 6371000     		dr = 848.744619999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23469906--0.23450731) × cos(-0.80266521) × R
    0.000191749999999991 × 0.694792332511257 × 6371000     		do = 848.785583994761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23469906--0.23450731) × cos(-0.80279843) × R
    0.000191749999999991 × 0.694696513135207 × 6371000     		du = 848.668527284067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80266521)-sin(-0.80279843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694792332511257-0.694696513135207)×R²
    abs(-0.23450731--0.23469906)×9.58193760508541e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58193760508541e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58193760508541e-05×40589641000000     		ar = 720352.523387416m²