Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15159 / 10006
↖ ↑ ↗
← N 57.195808°
W 13.458252°		 ← 661.85 m → N 57.195808°
W 13.447266°		 →
↑
661.95 m
↓
↑
661.95 m
↓
N 57.189855°
W 13.458252°		 ← 661.95 m →
438 143 m²		 N 57.189855°
W 13.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462631225585938 y=0.305374145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462631225585938 × 215)
    floor (0.462631225585938 × 32768)
    floor (15159.5)     		tx = 15159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305374145507812 × 215)
    floor (0.305374145507812 × 32768)
    floor (10006.5)     		ty = 10006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15159 / 10006 ti = "15/15159/10006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15159/10006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15159 ÷ 215
    15159 ÷ 32768     		x = 0.462615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10006 ÷ 215
    10006 ÷ 32768     		y = 0.30535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.07476806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23489081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30535888671875 × 2 - 1) × π
    0.3892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22296618310687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23489081} λ = -0.23489081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22296618310687))-π/2
    2×atan(3.39724966804929)-π/2
    2×1.28452574645496-π/2
    2.56905149290991-1.57079632675     		φ = 0.99825517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23489081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99825517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.195808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15159 KachelY 10006 -0.23489081 0.99825517 -13.458252 57.195808
    Oben rechts KachelX + 1 15160 KachelY 10006 -0.23469906 0.99825517 -13.447266 57.195808
    Unten links KachelX 15159 KachelY + 1 10007 -0.23489081 0.99815127 -13.458252 57.189855
    Unten rechts KachelX + 1 15160 KachelY + 1 10007 -0.23469906 0.99815127 -13.447266 57.189855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99825517-0.99815127) × R
    0.000103899999999935 × 6371000     		dl = 661.946899999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99825517-0.99815127) × R
    0.000103899999999935 × 6371000     		dr = 661.946899999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23489081--0.23469906) × cos(0.99825517) × R
    0.000191750000000018 × 0.541769706485045 × 6371000     		do = 661.847137903173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23489081--0.23469906) × cos(0.99815127) × R
    0.000191750000000018 × 0.541857034312678 × 6371000     		du = 661.953821005028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99825517)-sin(0.99815127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541769706485045-0.541857034312678)×R²
    abs(-0.23469906--0.23489081)×8.73278276333211e-05×R²
    0.000191750000000018×8.73278276333211e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.73278276333211e-05×40589641000000     		ar = 438142.97087702m²