Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15158 / 8400
↖ ↑ ↗
← N 65.585720°
W 13.469239°		 ← 504.94 m → N 65.585720°
W 13.458252°		 →
↑
505.03 m
↓
↑
505.03 m
↓
N 65.581178°
W 13.469239°		 ← 505.03 m →
255 033 m²		 N 65.581178°
W 13.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462600708007812 y=0.256362915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462600708007812 × 215)
    floor (0.462600708007812 × 32768)
    floor (15158.5)     		tx = 15158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256362915039062 × 215)
    floor (0.256362915039062 × 32768)
    floor (8400.5)     		ty = 8400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15158 / 8400 ti = "15/15158/8400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15158/8400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15158 ÷ 215
    15158 ÷ 32768     		x = 0.46258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8400 ÷ 215
    8400 ÷ 32768     		y = 0.25634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23508256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25634765625 × 2 - 1) × π
    0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23508256} λ = -0.23508256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53091282626611))-π/2
    2×atan(4.62239434004236)-π/2
    2×1.35774154173724-π/2
    2.71548308347448-1.57079632675     		φ = 1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23508256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15158 KachelY 8400 -0.23508256 1.14468676 -13.469239 65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 15159 KachelY 8400 -0.23489081 1.14468676 -13.458252 65.585720
    Unten links KachelX 15158 KachelY + 1 8401 -0.23508256 1.14460749 -13.469239 65.581178
    Unten rechts KachelX + 1 15159 KachelY + 1 8401 -0.23489081 1.14460749 -13.458252 65.581178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14468676-1.14460749) × R
    7.92699999998536e-05 × 6371000     		dl = 505.029169999067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14468676-1.14460749) × R
    7.92699999998536e-05 × 6371000     		dr = 505.029169999067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23508256--0.23489081) × cos(1.14468676) × R
    0.000191749999999991 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 504.941844456773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23508256--0.23489081) × cos(1.14460749) × R
    0.000191749999999991 × 0.413403566482378 × 6371000     		du = 505.030022904832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14468676)-sin(1.14460749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.413403566482378)×R²
    abs(-0.23489081--0.23508256)×7.21804313830177e-05×R²
    0.000191749999999991×7.21804313830177e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.21804313830177e-05×40589641000000     		ar = 255032.627081183m²