Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15158 / 14038
↖ ↑ ↗
← N 24.946219°
W 13.469239°		 ← 1 107.67 m → N 24.946219°
W 13.458252°		 →
↑
1 107.73 m
↓
↑
1 107.73 m
↓
N 24.936257°
W 13.469239°		 ← 1 107.75 m →
1 227 039 m²		 N 24.936257°
W 13.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462600708007812 y=0.428421020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462600708007812 × 215)
    floor (0.462600708007812 × 32768)
    floor (15158.5)     		tx = 15158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428421020507812 × 215)
    floor (0.428421020507812 × 32768)
    floor (14038.5)     		ty = 14038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15158 / 14038 ti = "15/15158/14038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15158/14038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15158 ÷ 215
    15158 ÷ 32768     		x = 0.46258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14038 ÷ 215
    14038 ÷ 32768     		y = 0.42840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23508256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42840576171875 × 2 - 1) × π
    0.1431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449839866034607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23508256} λ = -0.23508256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449839866034607))-π/2
    2×atan(1.56806106554788)-π/2
    2×1.00309499277732-π/2
    2.00618998555463-1.57079632675     		φ = 0.43539366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23508256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43539366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.946219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15158 KachelY 14038 -0.23508256 0.43539366 -13.469239 24.946219
    Oben rechts KachelX + 1 15159 KachelY 14038 -0.23489081 0.43539366 -13.458252 24.946219
    Unten links KachelX 15158 KachelY + 1 14039 -0.23508256 0.43521979 -13.469239 24.936257
    Unten rechts KachelX + 1 15159 KachelY + 1 14039 -0.23489081 0.43521979 -13.458252 24.936257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43539366-0.43521979) × R
    0.00017387000000002 × 6371000     		dl = 1107.72577000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43539366-0.43521979) × R
    0.00017387000000002 × 6371000     		dr = 1107.72577000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23508256--0.23489081) × cos(0.43539366) × R
    0.000191749999999991 × 0.906704079617013 × 6371000     		do = 1107.66529179521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23508256--0.23489081) × cos(0.43521979) × R
    0.000191749999999991 × 0.906777398603588 × 6371000     		du = 1107.75486114698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43539366)-sin(0.43521979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906704079617013-0.906777398603588)×R²
    abs(-0.23489081--0.23508256)×7.33189865752548e-05×R²
    0.000191749999999991×7.33189865752548e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.33189865752548e-05×40589641000000     		ar = 1227039.00048676m²