Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15157 / 6733
↖ ↑ ↗
← N 72.138048°
W 13.480224°		 ← 374.69 m → N 72.138048°
W 13.469239°		 →
↑
374.74 m
↓
↑
374.74 m
↓
N 72.134678°
W 13.480224°		 ← 374.76 m →
140 424 m²		 N 72.134678°
W 13.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462570190429688 y=0.205490112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462570190429688 × 215)
    floor (0.462570190429688 × 32768)
    floor (15157.5)     		tx = 15157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205490112304688 × 215)
    floor (0.205490112304688 × 32768)
    floor (6733.5)     		ty = 6733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15157 / 6733 ti = "15/15157/6733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15157/6733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15157 ÷ 215
    15157 ÷ 32768     		x = 0.462554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6733 ÷ 215
    6733 ÷ 32768     		y = 0.205474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.07489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23527430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205474853515625 × 2 - 1) × π
    0.58905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85055607293265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23527430} λ = -0.23527430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85055607293265))-π/2
    2×atan(6.36335702955965)-π/2
    2×1.41492139349631-π/2
    2.82984278699262-1.57079632675     		φ = 1.25904646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23527430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.480224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25904646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.138048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15157 KachelY 6733 -0.23527430 1.25904646 -13.480224 72.138048
    Oben rechts KachelX + 1 15158 KachelY 6733 -0.23508256 1.25904646 -13.469239 72.138048
    Unten links KachelX 15157 KachelY + 1 6734 -0.23527430 1.25898764 -13.480224 72.134678
    Unten rechts KachelX + 1 15158 KachelY + 1 6734 -0.23508256 1.25898764 -13.469239 72.134678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25904646-1.25898764) × R
    5.8820000000015e-05 × 6371000     		dl = 374.742220000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25904646-1.25898764) × R
    5.8820000000015e-05 × 6371000     		dr = 374.742220000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23527430--0.23508256) × cos(1.25904646) × R
    0.000191739999999996 × 0.306724625434785 × 6371000     		do = 374.687299946788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23527430--0.23508256) × cos(1.25898764) × R
    0.000191739999999996 × 0.306780609680166 × 6371000     		du = 374.755688931569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25904646)-sin(1.25898764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306724625434785-0.306780609680166)×R²
    abs(-0.23508256--0.23527430)×5.59842453802806e-05×R²
    0.000191739999999996×5.59842453802806e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.59842453802806e-05×40589641000000     		ar = 140423.964748229m²