Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15157 / 10338
↖ ↑ ↗
← N 55.166319°
W 13.480224°		 ← 697.76 m → N 55.166319°
W 13.469239°		 →
↑
697.82 m
↓
↑
697.82 m
↓
N 55.160043°
W 13.480224°		 ← 697.87 m →
486 946 m²		 N 55.160043°
W 13.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462570190429688 y=0.315505981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462570190429688 × 215)
    floor (0.462570190429688 × 32768)
    floor (15157.5)     		tx = 15157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315505981445312 × 215)
    floor (0.315505981445312 × 32768)
    floor (10338.5)     		ty = 10338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15157 / 10338 ti = "15/15157/10338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15157/10338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15157 ÷ 215
    15157 ÷ 32768     		x = 0.462554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10338 ÷ 215
    10338 ÷ 32768     		y = 0.31549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.07489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23527430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31549072265625 × 2 - 1) × π
    0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23527430} λ = -0.23527430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15930598041144))-π/2
    2×atan(3.18772016799538)-π/2
    2×1.26681511425305-π/2
    2.53363022850611-1.57079632675     		φ = 0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23527430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.480224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15157 KachelY 10338 -0.23527430 0.96283390 -13.480224 55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 15158 KachelY 10338 -0.23508256 0.96283390 -13.469239 55.166319
    Unten links KachelX 15157 KachelY + 1 10339 -0.23527430 0.96272437 -13.480224 55.160043
    Unten rechts KachelX + 1 15158 KachelY + 1 10339 -0.23508256 0.96272437 -13.469239 55.160043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96283390-0.96272437) × R
    0.000109530000000024 × 6371000     		dl = 697.815630000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96283390-0.96272437) × R
    0.000109530000000024 × 6371000     		dr = 697.815630000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23527430--0.23508256) × cos(0.96283390) × R
    0.000191739999999996 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 697.759281088212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23527430--0.23508256) × cos(0.96272437) × R
    0.000191739999999996 × 0.571286079513928 × 6371000     		du = 697.869101076694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96283390)-sin(0.96272437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.571286079513928)×R²
    abs(-0.23508256--0.23527430)×8.99002844161334e-05×R²
    0.000191739999999996×8.99002844161334e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.99002844161334e-05×40589641000000     		ar = 486945.649859736m²