Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15156 / 10180
↖ ↑ ↗
← N 56.145550°
W 13.491211°		 ← 680.56 m → N 56.145550°
W 13.480224°		 →
↑
680.61 m
↓
↑
680.61 m
↓
N 56.139429°
W 13.491211°		 ← 680.67 m →
463 233 m²		 N 56.139429°
W 13.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462539672851562 y=0.310684204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462539672851562 × 215)
    floor (0.462539672851562 × 32768)
    floor (15156.5)     		tx = 15156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310684204101562 × 215)
    floor (0.310684204101562 × 32768)
    floor (10180.5)     		ty = 10180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15156 / 10180 ti = "15/15156/10180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15156/10180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15156 ÷ 215
    15156 ÷ 32768     		x = 0.4625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10180 ÷ 215
    10180 ÷ 32768     		y = 0.3106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3106689453125 × 2 - 1) × π
    0.378662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18960210097131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23546605} λ = -0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18960210097131))-π/2
    2×atan(3.2857735411403)-π/2
    2×1.27536051295213-π/2
    2.55072102590426-1.57079632675     		φ = 0.97992470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97992470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.145550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15156 KachelY 10180 -0.23546605 0.97992470 -13.491211 56.145550
    Oben rechts KachelX + 1 15157 KachelY 10180 -0.23527430 0.97992470 -13.480224 56.145550
    Unten links KachelX 15156 KachelY + 1 10181 -0.23546605 0.97981787 -13.491211 56.139429
    Unten rechts KachelX + 1 15157 KachelY + 1 10181 -0.23527430 0.97981787 -13.480224 56.139429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97992470-0.97981787) × R
    0.000106830000000002 × 6371000     		dl = 680.613930000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97992470-0.97981787) × R
    0.000106830000000002 × 6371000     		dr = 680.613930000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23546605--0.23527430) × cos(0.97992470) × R
    0.000191750000000018 × 0.557085081638972 × 6371000     		do = 680.557001319688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23546605--0.23527430) × cos(0.97981787) × R
    0.000191750000000018 × 0.557173796012878 × 6371000     		du = 680.66537828089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97992470)-sin(0.97981787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557085081638972-0.557173796012878)×R²
    abs(-0.23527430--0.23546605)×8.87143739052298e-05×R²
    0.000191750000000018×8.87143739052298e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.87143739052298e-05×40589641000000     		ar = 463233.457132835m²