Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15155 / 21098
↖ ↑ ↗
← S 45.905300°
W 13.502197°		 ← 850.07 m → S 45.905300°
W 13.491211°		 →
↑
849.96 m
↓
↑
849.96 m
↓
S 45.912944°
W 13.502197°		 ← 849.96 m →
722 474 m²		 S 45.912944°
W 13.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462509155273438 y=0.643875122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462509155273438 × 215)
    floor (0.462509155273438 × 32768)
    floor (15155.5)     		tx = 15155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643875122070312 × 215)
    floor (0.643875122070312 × 32768)
    floor (21098.5)     		ty = 21098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15155 / 21098 ti = "15/15155/21098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15155/21098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15155 ÷ 215
    15155 ÷ 32768     		x = 0.462493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21098 ÷ 215
    21098 ÷ 32768     		y = 0.64385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.07501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23565780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903898179235779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23565780} λ = -0.23565780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903898179235779))-π/2
    2×atan(0.404987863400979)-π/2
    2×0.384798850094307-π/2
    0.769597700188614-1.57079632675     		φ = -0.80119863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23565780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.502197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80119863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.905300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15155 KachelY 21098 -0.23565780 -0.80119863 -13.502197 -45.905300
    Oben rechts KachelX + 1 15156 KachelY 21098 -0.23546605 -0.80119863 -13.491211 -45.905300
    Unten links KachelX 15155 KachelY + 1 21099 -0.23565780 -0.80133204 -13.502197 -45.912944
    Unten rechts KachelX + 1 15156 KachelY + 1 21099 -0.23546605 -0.80133204 -13.491211 -45.912944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80119863--0.80133204) × R
    0.00013341 × 6371000     		dl = 849.955110000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80119863--0.80133204) × R
    0.00013341 × 6371000     		dr = 849.955110000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23565780--0.23546605) × cos(-0.80119863) × R
    0.000191749999999991 × 0.695846364537783 × 6371000     		do = 850.073230889123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23565780--0.23546605) × cos(-0.80133204) × R
    0.000191749999999991 × 0.695750544528508 × 6371000     		du = 849.956173404856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80119863)-sin(-0.80133204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695846364537783-0.695750544528508)×R²
    abs(-0.23546605--0.23565780)×9.58200092758821e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58200092758821e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58200092758821e-05×40589641000000     		ar = 722474.340735801m²