Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15155 / 10338
↖ ↑ ↗
← N 55.166319°
W 13.502197°		 ← 697.80 m → N 55.166319°
W 13.491211°		 →
↑
697.82 m
↓
↑
697.82 m
↓
N 55.160043°
W 13.502197°		 ← 697.91 m →
486 971 m²		 N 55.160043°
W 13.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462509155273438 y=0.315505981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462509155273438 × 215)
    floor (0.462509155273438 × 32768)
    floor (15155.5)     		tx = 15155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315505981445312 × 215)
    floor (0.315505981445312 × 32768)
    floor (10338.5)     		ty = 10338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15155 / 10338 ti = "15/15155/10338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15155/10338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15155 ÷ 215
    15155 ÷ 32768     		x = 0.462493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10338 ÷ 215
    10338 ÷ 32768     		y = 0.31549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.07501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23565780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31549072265625 × 2 - 1) × π
    0.3690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15930598041144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23565780} λ = -0.23565780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15930598041144))-π/2
    2×atan(3.18772016799538)-π/2
    2×1.26681511425305-π/2
    2.53363022850611-1.57079632675     		φ = 0.96283390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23565780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.502197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96283390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.166319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15155 KachelY 10338 -0.23565780 0.96283390 -13.502197 55.166319
    Oben rechts KachelX + 1 15156 KachelY 10338 -0.23546605 0.96283390 -13.491211 55.166319
    Unten links KachelX 15155 KachelY + 1 10339 -0.23565780 0.96272437 -13.502197 55.160043
    Unten rechts KachelX + 1 15156 KachelY + 1 10339 -0.23546605 0.96272437 -13.491211 55.160043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96283390-0.96272437) × R
    0.000109530000000024 × 6371000     		dl = 697.815630000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96283390-0.96272437) × R
    0.000109530000000024 × 6371000     		dr = 697.815630000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23565780--0.23546605) × cos(0.96283390) × R
    0.000191749999999991 × 0.571196179229511 × 6371000     		do = 697.795671996772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23565780--0.23546605) × cos(0.96272437) × R
    0.000191749999999991 × 0.571286079513928 × 6371000     		du = 697.905497712801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96283390)-sin(0.96272437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571196179229511-0.571286079513928)×R²
    abs(-0.23546605--0.23565780)×8.99002844161334e-05×R²
    0.000191749999999991×8.99002844161334e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.99002844161334e-05×40589641000000     		ar = 486971.04600293m²