Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15153 / 14035
↖ ↑ ↗
← N 24.976099°
W 13.524170°		 ← 1 107.34 m → N 24.976099°
W 13.513184°		 →
↑
1 107.41 m
↓
↑
1 107.41 m
↓
N 24.966140°
W 13.524170°		 ← 1 107.43 m →
1 226 324 m²		 N 24.966140°
W 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462448120117188 y=0.428329467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462448120117188 × 215)
    floor (0.462448120117188 × 32768)
    floor (15153.5)     		tx = 15153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428329467773438 × 215)
    floor (0.428329467773438 × 32768)
    floor (14035.5)     		ty = 14035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15153 / 14035 ti = "15/15153/14035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15153/14035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15153 ÷ 215
    15153 ÷ 32768     		x = 0.462432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14035 ÷ 215
    14035 ÷ 32768     		y = 0.428314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.07513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23604129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428314208984375 × 2 - 1) × π
    0.14337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.450415108830048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23604129} λ = -0.23604129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450415108830048))-π/2
    2×atan(1.56896334086746)-π/2
    2×1.00335574862695-π/2
    2.0067114972539-1.57079632675     		φ = 0.43591517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23604129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.524170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43591517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.976099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15153 KachelY 14035 -0.23604129 0.43591517 -13.524170 24.976099
    Oben rechts KachelX + 1 15154 KachelY 14035 -0.23584955 0.43591517 -13.513184 24.976099
    Unten links KachelX 15153 KachelY + 1 14036 -0.23604129 0.43574135 -13.524170 24.966140
    Unten rechts KachelX + 1 15154 KachelY + 1 14036 -0.23584955 0.43574135 -13.513184 24.966140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43591517-0.43574135) × R
    0.000173819999999991 × 6371000     		dl = 1107.40721999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43591517-0.43574135) × R
    0.000173819999999991 × 6371000     		dr = 1107.40721999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23604129--0.23584955) × cos(0.43591517) × R
    0.000191739999999996 × 0.906484000427966 × 6371000     		do = 1107.33868232413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23604129--0.23584955) × cos(0.43574135) × R
    0.000191739999999996 × 0.906557380519105 × 6371000     		du = 1107.42832164859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43591517)-sin(0.43574135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906484000427966-0.906557380519105)×R²
    abs(-0.23584955--0.23604129)×7.33800911383309e-05×R²
    0.000191739999999996×7.33800911383309e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.33800911383309e-05×40589641000000     		ar = 1226324.4884961m²