Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15152 / 6576
↖ ↑ ↗
← N 72.659588°
W 13.535156°		 ← 364.11 m → N 72.659588°
W 13.524170°		 →
↑
364.10 m
↓
↑
364.10 m
↓
N 72.656314°
W 13.535156°		 ← 364.17 m →
132 585 m²		 N 72.656314°
W 13.524170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462417602539062 y=0.200698852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462417602539062 × 215)
    floor (0.462417602539062 × 32768)
    floor (15152.5)     		tx = 15152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200698852539062 × 215)
    floor (0.200698852539062 × 32768)
    floor (6576.5)     		ty = 6576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15152 / 6576 ti = "15/15152/6576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15152/6576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15152 ÷ 215
    15152 ÷ 32768     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6576 ÷ 215
    6576 ÷ 32768     		y = 0.20068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20068359375 × 2 - 1) × π
    0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88066044589404))-π/2
    2×atan(6.55783452716632)-π/2
    2×1.41947268935165-π/2
    2.8389453787033-1.57079632675     		φ = 1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15152 KachelY 6576 -0.23623304 1.26814905 -13.535156 72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 15153 KachelY 6576 -0.23604129 1.26814905 -13.524170 72.659588
    Unten links KachelX 15152 KachelY + 1 6577 -0.23623304 1.26809190 -13.535156 72.656314
    Unten rechts KachelX + 1 15153 KachelY + 1 6577 -0.23604129 1.26809190 -13.524170 72.656314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26814905-1.26809190) × R
    5.71500000001723e-05 × 6371000     		dl = 364.102650001098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26814905-1.26809190) × R
    5.71500000001723e-05 × 6371000     		dr = 364.102650001098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23604129) × cos(1.26814905) × R
    0.000191750000000018 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 364.107389667584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23604129) × cos(1.26809190) × R
    0.000191750000000018 × 0.298102760405703 × 6371000     		du = 364.174032644987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26814905)-sin(1.26809190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.298102760405703)×R²
    abs(-0.23604129--0.23623304)×5.45520925294141e-05×R²
    0.000191750000000018×5.45520925294141e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.45520925294141e-05×40589641000000     		ar = 132584.597941972m²