Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15152 / 10337
↖ ↑ ↗
← N 55.172594°
W 13.535156°		 ← 697.69 m → N 55.172594°
W 13.524170°		 →
↑
697.75 m
↓
↑
697.75 m
↓
N 55.166319°
W 13.535156°		 ← 697.80 m →
486 850 m²		 N 55.166319°
W 13.524170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462417602539062 y=0.315475463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462417602539062 × 215)
    floor (0.462417602539062 × 32768)
    floor (15152.5)     		tx = 15152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315475463867188 × 215)
    floor (0.315475463867188 × 32768)
    floor (10337.5)     		ty = 10337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15152 / 10337 ti = "15/15152/10337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15152/10337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15152 ÷ 215
    15152 ÷ 32768     		x = 0.46240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10337 ÷ 215
    10337 ÷ 32768     		y = 0.315460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23623304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315460205078125 × 2 - 1) × π
    0.36907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15949772800992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23623304} λ = -0.23623304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15949772800992))-π/2
    2×atan(3.18833146428764)-π/2
    2×1.26686987269132-π/2
    2.53373974538265-1.57079632675     		φ = 0.96294342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23623304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96294342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.172594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15152 KachelY 10337 -0.23623304 0.96294342 -13.535156 55.172594
    Oben rechts KachelX + 1 15153 KachelY 10337 -0.23604129 0.96294342 -13.524170 55.172594
    Unten links KachelX 15152 KachelY + 1 10338 -0.23623304 0.96283390 -13.535156 55.166319
    Unten rechts KachelX + 1 15153 KachelY + 1 10338 -0.23604129 0.96283390 -13.524170 55.166319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96294342-0.96283390) × R
    0.000109519999999974 × 6371000     		dl = 697.751919999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96294342-0.96283390) × R
    0.000109519999999974 × 6371000     		dr = 697.751919999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23623304--0.23604129) × cos(0.96294342) × R
    0.000191750000000018 × 0.571106280301318 × 6371000     		do = 697.685847937659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23623304--0.23604129) × cos(0.96283390) × R
    0.000191750000000018 × 0.571196179229511 × 6371000     		du = 697.795671996873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96294342)-sin(0.96283390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571106280301318-0.571196179229511)×R²
    abs(-0.23604129--0.23623304)×8.98989281931106e-05×R²
    0.000191750000000018×8.98989281931106e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.98989281931106e-05×40589641000000     		ar = 486849.955416165m²