Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15151 / 8336
↖ ↑ ↗
← N 65.874725°
W 13.546143°		 ← 499.32 m → N 65.874725°
W 13.535156°		 →
↑
499.36 m
↓
↑
499.36 m
↓
N 65.870234°
W 13.546143°		 ← 499.41 m →
249 364 m²		 N 65.870234°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462387084960938 y=0.254409790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462387084960938 × 215)
    floor (0.462387084960938 × 32768)
    floor (15151.5)     		tx = 15151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254409790039062 × 215)
    floor (0.254409790039062 × 32768)
    floor (8336.5)     		ty = 8336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15151 / 8336 ti = "15/15151/8336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15151/8336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15151 ÷ 215
    15151 ÷ 32768     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8336 ÷ 215
    8336 ÷ 32768     		y = 0.25439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25439453125 × 2 - 1) × π
    0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54318467256885))-π/2
    2×atan(4.67946914326195)-π/2
    2×1.36026358306515-π/2
    2.7205271661303-1.57079632675     		φ = 1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15151 KachelY 8336 -0.23642479 1.14973084 -13.546143 65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 15152 KachelY 8336 -0.23623304 1.14973084 -13.535156 65.874725
    Unten links KachelX 15151 KachelY + 1 8337 -0.23642479 1.14965246 -13.546143 65.870234
    Unten rechts KachelX + 1 15152 KachelY + 1 8337 -0.23623304 1.14965246 -13.535156 65.870234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14973084-1.14965246) × R
    7.83799999999335e-05 × 6371000     		dl = 499.358979999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14973084-1.14965246) × R
    7.83799999999335e-05 × 6371000     		dr = 499.358979999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(1.14973084) × R
    0.000191749999999991 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 499.324404607685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(1.14965246) × R
    0.000191749999999991 × 0.408804638188186 × 6371000     		du = 499.411791592712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14973084)-sin(1.14965246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.408804638188186)×R²
    abs(-0.23623304--0.23642479)×7.15325617006157e-05×R²
    0.000191749999999991×7.15325617006157e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.15325617006157e-05×40589641000000     		ar = 249363.944239405m²