Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15151 / 6584
↖ ↑ ↗
← N 72.633374°
W 13.546143°		 ← 364.64 m → N 72.633374°
W 13.535156°		 →
↑
364.68 m
↓
↑
364.68 m
↓
N 72.630094°
W 13.546143°		 ← 364.71 m →
132 988 m²		 N 72.630094°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462387084960938 y=0.200942993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462387084960938 × 215)
    floor (0.462387084960938 × 32768)
    floor (15151.5)     		tx = 15151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200942993164062 × 215)
    floor (0.200942993164062 × 32768)
    floor (6584.5)     		ty = 6584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15151 / 6584 ti = "15/15151/6584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15151/6584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15151 ÷ 215
    15151 ÷ 32768     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6584 ÷ 215
    6584 ÷ 32768     		y = 0.200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200927734375 × 2 - 1) × π
    0.59814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8791264651062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8791264651062))-π/2
    2×atan(6.54778264665868)-π/2
    2×1.41924392180131-π/2
    2.83848784360261-1.57079632675     		φ = 1.26769152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26769152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.633374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15151 KachelY 6584 -0.23642479 1.26769152 -13.546143 72.633374
    Oben rechts KachelX + 1 15152 KachelY 6584 -0.23623304 1.26769152 -13.535156 72.633374
    Unten links KachelX 15151 KachelY + 1 6585 -0.23642479 1.26763428 -13.546143 72.630094
    Unten rechts KachelX + 1 15152 KachelY + 1 6585 -0.23623304 1.26763428 -13.535156 72.630094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26769152-1.26763428) × R
    5.72400000000695e-05 × 6371000     		dl = 364.676040000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26769152-1.26763428) × R
    5.72400000000695e-05 × 6371000     		dr = 364.676040000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(1.26769152) × R
    0.000191749999999991 × 0.298484912738259 × 6371000     		do = 364.640884933864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(1.26763428) × R
    0.000191749999999991 × 0.298539542926804 × 6371000     		du = 364.707623316426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26769152)-sin(1.26763428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298484912738259-0.298539542926804)×R²
    abs(-0.23623304--0.23642479)×5.46301885449574e-05×R²
    0.000191749999999991×5.46301885449574e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.46301885449574e-05×40589641000000     		ar = 132987.96292102m²