Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15151 / 21360
↖ ↑ ↗
← S 47.872144°
W 13.546143°		 ← 819.46 m → S 47.872144°
W 13.535156°		 →
↑
819.37 m
↓
↑
819.37 m
↓
S 47.879513°
W 13.546143°		 ← 819.34 m →
671 397 m²		 S 47.879513°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462387084960938 y=0.651870727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462387084960938 × 215)
    floor (0.462387084960938 × 32768)
    floor (15151.5)     		tx = 15151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651870727539062 × 215)
    floor (0.651870727539062 × 32768)
    floor (21360.5)     		ty = 21360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15151 / 21360 ti = "15/15151/21360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15151/21360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15151 ÷ 215
    15151 ÷ 32768     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21360 ÷ 215
    21360 ÷ 32768     		y = 0.65185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954136050037598))-π/2
    2×atan(0.385144746645892)-π/2
    2×0.36763489728368-π/2
    0.73526979456736-1.57079632675     		φ = -0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15151 KachelY 21360 -0.23642479 -0.83552653 -13.546143 -47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 15152 KachelY 21360 -0.23623304 -0.83552653 -13.535156 -47.872144
    Unten links KachelX 15151 KachelY + 1 21361 -0.23642479 -0.83565514 -13.546143 -47.879513
    Unten rechts KachelX + 1 15152 KachelY + 1 21361 -0.23623304 -0.83565514 -13.535156 -47.879513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83552653--0.83565514) × R
    0.000128609999999973 × 6371000     		dl = 819.374309999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83552653--0.83565514) × R
    0.000128609999999973 × 6371000     		dr = 819.374309999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(-0.83552653) × R
    0.000191749999999991 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 819.460063282708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(-0.83565514) × R
    0.000191749999999991 × 0.670691885660339 × 6371000     		du = 819.343532179142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83552653)-sin(-0.83565514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.670691885660339)×R²
    abs(-0.23623304--0.23642479)×9.53891286367137e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53891286367137e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53891286367137e-05×40589641000000     		ar = 671396.783553356m²