Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15151 / 10315
↖ ↑ ↗
← N 55.310391°
W 13.546143°		 ← 695.27 m → N 55.310391°
W 13.535156°		 →
↑
695.33 m
↓
↑
695.33 m
↓
N 55.304138°
W 13.546143°		 ← 695.38 m →
483 482 m²		 N 55.304138°
W 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462387084960938 y=0.314804077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462387084960938 × 215)
    floor (0.462387084960938 × 32768)
    floor (15151.5)     		tx = 15151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314804077148438 × 215)
    floor (0.314804077148438 × 32768)
    floor (10315.5)     		ty = 10315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15151 / 10315 ti = "15/15151/10315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15151/10315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15151 ÷ 215
    15151 ÷ 32768     		x = 0.462371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10315 ÷ 215
    10315 ÷ 32768     		y = 0.314788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314788818359375 × 2 - 1) × π
    0.37042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16371617517648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23642479} λ = -0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16371617517648))-π/2
    2×atan(3.20180968070376)-π/2
    2×1.26807237913165-π/2
    2.5361447582633-1.57079632675     		φ = 0.96534843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96534843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.310391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15151 KachelY 10315 -0.23642479 0.96534843 -13.546143 55.310391
    Oben rechts KachelX + 1 15152 KachelY 10315 -0.23623304 0.96534843 -13.535156 55.310391
    Unten links KachelX 15151 KachelY + 1 10316 -0.23642479 0.96523929 -13.546143 55.304138
    Unten rechts KachelX + 1 15152 KachelY + 1 10316 -0.23623304 0.96523929 -13.535156 55.304138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96534843-0.96523929) × R
    0.000109140000000063 × 6371000     		dl = 695.330940000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96534843-0.96523929) × R
    0.000109140000000063 × 6371000     		dr = 695.330940000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(0.96534843) × R
    0.000191749999999991 × 0.569130415249791 × 6371000     		do = 695.272053637909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23642479--0.23623304) × cos(0.96523929) × R
    0.000191749999999991 × 0.56922015192688 × 6371000     		du = 695.381679484805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96534843)-sin(0.96523929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569130415249791-0.56922015192688)×R²
    abs(-0.23623304--0.23642479)×8.97366770884478e-05×R²
    0.000191749999999991×8.97366770884478e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.97366770884478e-05×40589641000000     		ar = 483482.284213461m²