Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15150 / 8333
↖ ↑ ↗
← N 65.888193°
W 13.557129°		 ← 499.06 m → N 65.888193°
W 13.546143°		 →
↑
499.10 m
↓
↑
499.10 m
↓
N 65.883704°
W 13.557129°		 ← 499.15 m →
249 106 m²		 N 65.883704°
W 13.546143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462356567382812 y=0.254318237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462356567382812 × 215)
    floor (0.462356567382812 × 32768)
    floor (15150.5)     		tx = 15150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254318237304688 × 215)
    floor (0.254318237304688 × 32768)
    floor (8333.5)     		ty = 8333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15150 / 8333 ti = "15/15150/8333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15150/8333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15150 ÷ 215
    15150 ÷ 32768     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8333 ÷ 215
    8333 ÷ 32768     		y = 0.254302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254302978515625 × 2 - 1) × π
    0.49139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54375991536429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54375991536429))-π/2
    2×atan(4.68216174854975)-π/2
    2×1.36038111259732-π/2
    2.72076222519463-1.57079632675     		φ = 1.14996590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14996590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.888193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15150 KachelY 8333 -0.23661654 1.14996590 -13.557129 65.888193
    Oben rechts KachelX + 1 15151 KachelY 8333 -0.23642479 1.14996590 -13.546143 65.888193
    Unten links KachelX 15150 KachelY + 1 8334 -0.23661654 1.14988756 -13.557129 65.883704
    Unten rechts KachelX + 1 15151 KachelY + 1 8334 -0.23642479 1.14988756 -13.546143 65.883704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14996590-1.14988756) × R
    7.83399999999546e-05 × 6371000     		dl = 499.10413999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14996590-1.14988756) × R
    7.83399999999546e-05 × 6371000     		dr = 499.10413999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(1.14996590) × R
    0.000191749999999991 × 0.408518565897018 × 6371000     		do = 499.062314453483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(1.14988756) × R
    0.000191749999999991 × 0.408590069479181 × 6371000     		du = 499.14966603597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14996590)-sin(1.14988756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408518565897018-0.408590069479181)×R²
    abs(-0.23642479--0.23661654)×7.15035821633458e-05×R²
    0.000191749999999991×7.15035821633458e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.15035821633458e-05×40589641000000     		ar = 249105.86615689m²