Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15150 / 6710
↖ ↑ ↗
← N 72.215391°
W 13.557129°		 ← 373.14 m → N 72.215391°
W 13.546143°		 →
↑
373.15 m
↓
↑
373.15 m
↓
N 72.212035°
W 13.557129°		 ← 373.21 m →
139 249 m²		 N 72.212035°
W 13.546143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462356567382812 y=0.204788208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462356567382812 × 215)
    floor (0.462356567382812 × 32768)
    floor (15150.5)     		tx = 15150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204788208007812 × 215)
    floor (0.204788208007812 × 32768)
    floor (6710.5)     		ty = 6710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15150 / 6710 ti = "15/15150/6710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15150/6710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15150 ÷ 215
    15150 ÷ 32768     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6710 ÷ 215
    6710 ÷ 32768     		y = 0.20477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20477294921875 × 2 - 1) × π
    0.5904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85496626769769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85496626769769))-π/2
    2×atan(6.39148264755967)-π/2
    2×1.41559633339871-π/2
    2.83119266679742-1.57079632675     		φ = 1.26039634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26039634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.215391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15150 KachelY 6710 -0.23661654 1.26039634 -13.557129 72.215391
    Oben rechts KachelX + 1 15151 KachelY 6710 -0.23642479 1.26039634 -13.546143 72.215391
    Unten links KachelX 15150 KachelY + 1 6711 -0.23661654 1.26033777 -13.557129 72.212035
    Unten rechts KachelX + 1 15151 KachelY + 1 6711 -0.23642479 1.26033777 -13.546143 72.212035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26039634-1.26033777) × R
    5.856999999998e-05 × 6371000     		dl = 373.149469999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26039634-1.26033777) × R
    5.856999999998e-05 × 6371000     		dr = 373.149469999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(1.26039634) × R
    0.000191749999999991 × 0.305439532882498 × 6371000     		do = 373.136921870907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(1.26033777) × R
    0.000191749999999991 × 0.305495303384618 × 6371000     		du = 373.205053305289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26039634)-sin(1.26033777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305439532882498-0.305495303384618)×R²
    abs(-0.23642479--0.23661654)×5.57705021200228e-05×R²
    0.000191749999999991×5.57705021200228e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.57705021200228e-05×40589641000000     		ar = 139248.556277415m²