Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15150 / 6585
↖ ↑ ↗
← N 72.630094°
W 13.557129°		 ← 364.71 m → N 72.630094°
W 13.546143°		 →
↑
364.74 m
↓
↑
364.74 m
↓
N 72.626814°
W 13.557129°		 ← 364.77 m →
133 036 m²		 N 72.626814°
W 13.546143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462356567382812 y=0.200973510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462356567382812 × 215)
    floor (0.462356567382812 × 32768)
    floor (15150.5)     		tx = 15150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200973510742188 × 215)
    floor (0.200973510742188 × 32768)
    floor (6585.5)     		ty = 6585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15150 / 6585 ti = "15/15150/6585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15150/6585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15150 ÷ 215
    15150 ÷ 32768     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6585 ÷ 215
    6585 ÷ 32768     		y = 0.200958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200958251953125 × 2 - 1) × π
    0.59808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87893471750772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87893471750772))-π/2
    2×atan(6.54652724542475)-π/2
    2×1.41921530229973-π/2
    2.83843060459946-1.57079632675     		φ = 1.26763428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26763428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.630094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15150 KachelY 6585 -0.23661654 1.26763428 -13.557129 72.630094
    Oben rechts KachelX + 1 15151 KachelY 6585 -0.23642479 1.26763428 -13.546143 72.630094
    Unten links KachelX 15150 KachelY + 1 6586 -0.23661654 1.26757703 -13.557129 72.626814
    Unten rechts KachelX + 1 15151 KachelY + 1 6586 -0.23642479 1.26757703 -13.546143 72.626814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26763428-1.26757703) × R
    5.72500000000087e-05 × 6371000     		dl = 364.739750000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26763428-1.26757703) × R
    5.72500000000087e-05 × 6371000     		dr = 364.739750000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(1.26763428) × R
    0.000191749999999991 × 0.298539542926804 × 6371000     		do = 364.707623316426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(1.26757703) × R
    0.000191749999999991 × 0.298594181681011 × 6371000     		du = 364.774372163136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26763428)-sin(1.26757703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298539542926804-0.298594181681011)×R²
    abs(-0.23642479--0.23661654)×5.46387542065263e-05×R²
    0.000191749999999991×5.46387542065263e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.46387542065263e-05×40589641000000     		ar = 133035.540366604m²