Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15150 / 14030
↖ ↑ ↗
← N 25.025884°
W 13.557129°		 ← 1 106.95 m → N 25.025884°
W 13.546143°		 →
↑
1 107.02 m
↓
↑
1 107.02 m
↓
N 25.015929°
W 13.557129°		 ← 1 107.04 m →
1 225 469 m²		 N 25.015929°
W 13.546143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462356567382812 y=0.428176879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462356567382812 × 215)
    floor (0.462356567382812 × 32768)
    floor (15150.5)     		tx = 15150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428176879882812 × 215)
    floor (0.428176879882812 × 32768)
    floor (14030.5)     		ty = 14030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15150 / 14030 ti = "15/15150/14030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15150/14030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15150 ÷ 215
    15150 ÷ 32768     		x = 0.46234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14030 ÷ 215
    14030 ÷ 32768     		y = 0.42816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23661654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    0.1436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451373846822449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23661654} λ = -0.23661654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451373846822449))-π/2
    2×atan(1.57046828694025)-π/2
    2×1.0037902009546-π/2
    2.00758040190921-1.57079632675     		φ = 0.43678408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23661654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43678408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.025884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15150 KachelY 14030 -0.23661654 0.43678408 -13.557129 25.025884
    Oben rechts KachelX + 1 15151 KachelY 14030 -0.23642479 0.43678408 -13.546143 25.025884
    Unten links KachelX 15150 KachelY + 1 14031 -0.23661654 0.43661032 -13.557129 25.015929
    Unten rechts KachelX + 1 15151 KachelY + 1 14031 -0.23642479 0.43661032 -13.546143 25.015929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43678408-0.43661032) × R
    0.000173760000000023 × 6371000     		dl = 1107.02496000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43678408-0.43661032) × R
    0.000173760000000023 × 6371000     		dr = 1107.02496000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(0.43678408) × R
    0.000191749999999991 × 0.906116769572565 × 6371000     		do = 1106.947810793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23661654--0.23642479) × cos(0.43661032) × R
    0.000191749999999991 × 0.906190261179163 × 6371000     		du = 1107.03759102416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43678408)-sin(0.43661032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906116769572565-0.906190261179163)×R²
    abs(-0.23642479--0.23661654)×7.34916065977531e-05×R²
    0.000191749999999991×7.34916065977531e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.34916065977531e-05×40589641000000     		ar = 1225468.55352736m²