Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1515 / 1587
↖ ↑ ↗
← S 69.839622°
E 86.308594°		 ← 6 736.52 m → S 69.839622°
E 86.484375°		 →
↑
6 726.82 m
↓
↑
6 726.82 m
↓
S 69.900118°
E 86.308594°		 ← 6 717.15 m →
45 250 221 m²		 S 69.900118°
E 86.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739990234375 y=0.775146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739990234375 × 211)
    floor (0.739990234375 × 2048)
    floor (1515.5)     		tx = 1515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775146484375 × 211)
    floor (0.775146484375 × 2048)
    floor (1587.5)     		ty = 1587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1515 / 1587 ti = "11/1515/1587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1515/1587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1515 ÷ 211
    1515 ÷ 2048     		x = 0.73974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1587 ÷ 211
    1587 ÷ 2048     		y = 0.77490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73974609375 × 2 - 1) × π
    0.4794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.50636913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72726236710986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50636913} λ = 1.50636913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72726236710986))-π/2
    2×atan(0.177770414549045)-π/2
    2×0.175932487799534-π/2
    0.351864975599068-1.57079632675     		φ = -1.21893135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50636913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.308594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21893135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.839622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1515 KachelY 1587 1.50636913 -1.21893135 86.308594 -69.839622
    Oben rechts KachelX + 1 1516 KachelY 1587 1.50943710 -1.21893135 86.484375 -69.839622
    Unten links KachelX 1515 KachelY + 1 1588 1.50636913 -1.21998720 86.308594 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 1516 KachelY + 1 1588 1.50943710 -1.21998720 86.484375 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21893135--1.21998720) × R
    0.00105584999999997 × 6371000     		dl = 6726.8203499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21893135--1.21998720) × R
    0.00105584999999997 × 6371000     		dr = 6726.8203499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50636913-1.50943710) × cos(-1.21893135) × R
    0.00306797000000003 × 0.344649118428257 × 6371000     		do = 6736.52437601178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50636913-1.50943710) × cos(-1.21998720) × R
    0.00306797000000003 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 6717.14737974617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21893135)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344649118428257-0.343657766759656)×R²
    abs(1.50943710-1.50636913)×0.000991351668600871×R²
    0.00306797000000003×0.000991351668600871×6371000²
    0.00306797000000003×0.000991351668600871×40589641000000     		ar = 45250220.6782435m²