Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15149 / 8334
↖ ↑ ↗
← N 65.883704°
W 13.568115°		 ← 499.12 m → N 65.883704°
W 13.557129°		 →
↑
499.17 m
↓
↑
499.17 m
↓
N 65.879215°
W 13.568115°		 ← 499.21 m →
249 168 m²		 N 65.879215°
W 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462326049804688 y=0.254348754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462326049804688 × 215)
    floor (0.462326049804688 × 32768)
    floor (15149.5)     		tx = 15149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254348754882812 × 215)
    floor (0.254348754882812 × 32768)
    floor (8334.5)     		ty = 8334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15149 / 8334 ti = "15/15149/8334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15149/8334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15149 ÷ 215
    15149 ÷ 32768     		x = 0.462310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8334 ÷ 215
    8334 ÷ 32768     		y = 0.25433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.07537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23680828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25433349609375 × 2 - 1) × π
    0.4913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.54356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23680828} λ = -0.23680828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54356816776581))-π/2
    2×atan(4.68126404134812)-π/2
    2×1.36034194294265-π/2
    2.72068388588531-1.57079632675     		φ = 1.14988756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23680828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14988756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.883704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15149 KachelY 8334 -0.23680828 1.14988756 -13.568115 65.883704
    Oben rechts KachelX + 1 15150 KachelY 8334 -0.23661654 1.14988756 -13.557129 65.883704
    Unten links KachelX 15149 KachelY + 1 8335 -0.23680828 1.14980921 -13.568115 65.879215
    Unten rechts KachelX + 1 15150 KachelY + 1 8335 -0.23661654 1.14980921 -13.557129 65.879215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14988756-1.14980921) × R
    7.83500000001158e-05 × 6371000     		dl = 499.167850000738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14988756-1.14980921) × R
    7.83500000001158e-05 × 6371000     		dr = 499.167850000738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23680828--0.23661654) × cos(1.14988756) × R
    0.000191740000000024 × 0.408590069479181 × 6371000     		do = 499.123634762729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23680828--0.23661654) × cos(1.14980921) × R
    0.000191740000000024 × 0.408661579680623 × 6371000     		du = 499.210989875672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14988756)-sin(1.14980921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408590069479181-0.408661579680623)×R²
    abs(-0.23661654--0.23680828)×7.15102014425817e-05×R²
    0.000191740000000024×7.15102014425817e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.15102014425817e-05×40589641000000     		ar = 249168.274208886m²