Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15149 / 8332
↖ ↑ ↗
← N 65.892680°
W 13.568115°		 ← 498.95 m → N 65.892680°
W 13.557129°		 →
↑
498.98 m
↓
↑
498.98 m
↓
N 65.888193°
W 13.568115°		 ← 499.04 m →
248 986 m²		 N 65.888193°
W 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462326049804688 y=0.254287719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462326049804688 × 215)
    floor (0.462326049804688 × 32768)
    floor (15149.5)     		tx = 15149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254287719726562 × 215)
    floor (0.254287719726562 × 32768)
    floor (8332.5)     		ty = 8332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15149 / 8332 ti = "15/15149/8332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15149/8332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15149 ÷ 215
    15149 ÷ 32768     		x = 0.462310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8332 ÷ 215
    8332 ÷ 32768     		y = 0.2542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.07537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23680828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2542724609375 × 2 - 1) × π
    0.491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23680828} λ = -0.23680828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54395166296277))-π/2
    2×atan(4.68305962790108)-π/2
    2×1.3604202753972-π/2
    2.7208405507944-1.57079632675     		φ = 1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23680828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15149 KachelY 8332 -0.23680828 1.15004422 -13.568115 65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 15150 KachelY 8332 -0.23661654 1.15004422 -13.557129 65.892680
    Unten links KachelX 15149 KachelY + 1 8333 -0.23680828 1.14996590 -13.568115 65.888193
    Unten rechts KachelX + 1 15150 KachelY + 1 8333 -0.23661654 1.14996590 -13.557129 65.888193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15004422-1.14996590) × R
    7.83200000000761e-05 × 6371000     		dl = 498.976720000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15004422-1.14996590) × R
    7.83200000000761e-05 × 6371000     		dr = 498.976720000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23680828--0.23661654) × cos(1.15004422) × R
    0.000191740000000024 × 0.408447078063352 × 6371000     		do = 498.948959946723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23680828--0.23661654) × cos(1.14996590) × R
    0.000191740000000024 × 0.408518565897018 × 6371000     		du = 499.036287735736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15004422)-sin(1.14996590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408447078063352-0.408518565897018)×R²
    abs(-0.23661654--0.23680828)×7.14878336653402e-05×R²
    0.000191740000000024×7.14878336653402e-05×6371000²
    0.000191740000000024×7.14878336653402e-05×40589641000000     		ar = 248985.702876341m²