Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15149 / 6704
↖ ↑ ↗
← N 72.235514°
W 13.568115°		 ← 372.71 m → N 72.235514°
W 13.557129°		 →
↑
372.77 m
↓
↑
372.77 m
↓
N 72.232161°
W 13.568115°		 ← 372.78 m →
138 946 m²		 N 72.232161°
W 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462326049804688 y=0.204605102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462326049804688 × 215)
    floor (0.462326049804688 × 32768)
    floor (15149.5)     		tx = 15149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204605102539062 × 215)
    floor (0.204605102539062 × 32768)
    floor (6704.5)     		ty = 6704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15149 / 6704 ti = "15/15149/6704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15149/6704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15149 ÷ 215
    15149 ÷ 32768     		x = 0.462310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6704 ÷ 215
    6704 ÷ 32768     		y = 0.20458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.07537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23680828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20458984375 × 2 - 1) × π
    0.5908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23680828} λ = -0.23680828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85611675328857))-π/2
    2×atan(6.39884018781053)-π/2
    2×1.41577193907977-π/2
    2.83154387815953-1.57079632675     		φ = 1.26074755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23680828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26074755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.235514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15149 KachelY 6704 -0.23680828 1.26074755 -13.568115 72.235514
    Oben rechts KachelX + 1 15150 KachelY 6704 -0.23661654 1.26074755 -13.557129 72.235514
    Unten links KachelX 15149 KachelY + 1 6705 -0.23680828 1.26068904 -13.568115 72.232161
    Unten rechts KachelX + 1 15150 KachelY + 1 6705 -0.23661654 1.26068904 -13.557129 72.232161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26074755-1.26068904) × R
    5.85100000001226e-05 × 6371000     		dl = 372.767210000781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26074755-1.26068904) × R
    5.85100000001226e-05 × 6371000     		dr = 372.767210000781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23680828--0.23661654) × cos(1.26074755) × R
    0.000191740000000024 × 0.305105087859742 × 6371000     		do = 372.708912459058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23680828--0.23661654) × cos(1.26068904) × R
    0.000191740000000024 × 0.305160807503951 × 6371000     		du = 372.776978213521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26074755)-sin(1.26068904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305105087859742-0.305160807503951)×R²
    abs(-0.23661654--0.23680828)×5.57196442085295e-05×R²
    0.000191740000000024×5.57196442085295e-05×6371000²
    0.000191740000000024×5.57196442085295e-05×40589641000000     		ar = 138946.347820313m²