Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15148 / 8567
↖ ↑ ↗
← N 64.816233°
W 13.579101°		 ← 519.84 m → N 64.816233°
W 13.568115°		 →
↑
519.87 m
↓
↑
519.87 m
↓
N 64.811557°
W 13.579101°		 ← 519.93 m →
270 272 m²		 N 64.811557°
W 13.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462295532226562 y=0.261459350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462295532226562 × 215)
    floor (0.462295532226562 × 32768)
    floor (15148.5)     		tx = 15148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261459350585938 × 215)
    floor (0.261459350585938 × 32768)
    floor (8567.5)     		ty = 8567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15148 / 8567 ti = "15/15148/8567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15148/8567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15148 ÷ 215
    15148 ÷ 32768     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8567 ÷ 215
    8567 ÷ 32768     		y = 0.261444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261444091796875 × 2 - 1) × π
    0.47711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49889097731992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49889097731992))-π/2
    2×atan(4.47672153058025)-π/2
    2×1.35102649710818-π/2
    2.70205299421636-1.57079632675     		φ = 1.13125667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13125667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.816233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15148 KachelY 8567 -0.23700003 1.13125667 -13.579101 64.816233
    Oben rechts KachelX + 1 15149 KachelY 8567 -0.23680828 1.13125667 -13.568115 64.816233
    Unten links KachelX 15148 KachelY + 1 8568 -0.23700003 1.13117507 -13.579101 64.811557
    Unten rechts KachelX + 1 15149 KachelY + 1 8568 -0.23680828 1.13117507 -13.568115 64.811557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13125667-1.13117507) × R
    8.1599999999904e-05 × 6371000     		dl = 519.873599999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13125667-1.13117507) × R
    8.1599999999904e-05 × 6371000     		dr = 519.873599999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23680828) × cos(1.13125667) × R
    0.000191749999999991 × 0.425522923668576 × 6371000     		do = 519.835505328261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23680828) × cos(1.13117507) × R
    0.000191749999999991 × 0.425596765979697 × 6371000     		du = 519.925713993837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13125667)-sin(1.13117507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425522923668576-0.425596765979697)×R²
    abs(-0.23680828--0.23700003)×7.38423111210085e-05×R²
    0.000191749999999991×7.38423111210085e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.38423111210085e-05×40589641000000     		ar = 270272.204263958m²