Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15148 / 6703
↖ ↑ ↗
← N 72.238865°
W 13.579101°		 ← 372.66 m → N 72.238865°
W 13.568115°		 →
↑
372.70 m
↓
↑
372.70 m
↓
N 72.235514°
W 13.579101°		 ← 372.73 m →
138 904 m²		 N 72.235514°
W 13.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462295532226562 y=0.204574584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462295532226562 × 215)
    floor (0.462295532226562 × 32768)
    floor (15148.5)     		tx = 15148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204574584960938 × 215)
    floor (0.204574584960938 × 32768)
    floor (6703.5)     		ty = 6703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15148 / 6703 ti = "15/15148/6703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15148/6703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15148 ÷ 215
    15148 ÷ 32768     		x = 0.4622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6703 ÷ 215
    6703 ÷ 32768     		y = 0.204559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204559326171875 × 2 - 1) × π
    0.59088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85630850088705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23700003} λ = -0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85630850088705))-π/2
    2×atan(6.40006726769065)-π/2
    2×1.41580118799299-π/2
    2.83160237598598-1.57079632675     		φ = 1.26080605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26080605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.238865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15148 KachelY 6703 -0.23700003 1.26080605 -13.579101 72.238865
    Oben rechts KachelX + 1 15149 KachelY 6703 -0.23680828 1.26080605 -13.568115 72.238865
    Unten links KachelX 15148 KachelY + 1 6704 -0.23700003 1.26074755 -13.579101 72.235514
    Unten rechts KachelX + 1 15149 KachelY + 1 6704 -0.23680828 1.26074755 -13.568115 72.235514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26080605-1.26074755) × R
    5.84999999999614e-05 × 6371000     		dl = 372.703499999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26080605-1.26074755) × R
    5.84999999999614e-05 × 6371000     		dr = 372.703499999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23700003--0.23680828) × cos(1.26080605) × R
    0.000191749999999991 × 0.305049376694397 × 6371000     		do = 372.660291757892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23700003--0.23680828) × cos(1.26074755) × R
    0.000191749999999991 × 0.305105087859742 × 6371000     		du = 372.728350704141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26080605)-sin(1.26074755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305049376694397-0.305105087859742)×R²
    abs(-0.23680828--0.23700003)×5.5711165345862e-05×R²
    0.000191749999999991×5.5711165345862e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.5711165345862e-05×40589641000000     		ar = 138904.477992274m²