Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15147 / 20859
↖ ↑ ↗
← S 44.048116°
W 13.590088°		 ← 878.06 m → S 44.048116°
W 13.579101°		 →
↑
877.99 m
↓
↑
877.99 m
↓
S 44.056012°
W 13.590088°		 ← 877.94 m →
770 875 m²		 S 44.056012°
W 13.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462265014648438 y=0.636581420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462265014648438 × 215)
    floor (0.462265014648438 × 32768)
    floor (15147.5)     		tx = 15147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636581420898438 × 215)
    floor (0.636581420898438 × 32768)
    floor (20859.5)     		ty = 20859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15147 / 20859 ti = "15/15147/20859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15147/20859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15147 ÷ 215
    15147 ÷ 32768     		x = 0.462249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20859 ÷ 215
    20859 ÷ 32768     		y = 0.636566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.07550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23719178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.27313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.858070503199005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23719178} λ = -0.23719178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858070503199005))-π/2
    2×atan(0.423979360416064)-π/2
    2×0.401005839005073-π/2
    0.802011678010146-1.57079632675     		φ = -0.76878465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23719178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76878465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.048116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15147 KachelY 20859 -0.23719178 -0.76878465 -13.590088 -44.048116
    Oben rechts KachelX + 1 15148 KachelY 20859 -0.23700003 -0.76878465 -13.579101 -44.048116
    Unten links KachelX 15147 KachelY + 1 20860 -0.23719178 -0.76892246 -13.590088 -44.056012
    Unten rechts KachelX + 1 15148 KachelY + 1 20860 -0.23700003 -0.76892246 -13.579101 -44.056012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76878465--0.76892246) × R
    0.000137810000000016 × 6371000     		dl = 877.987510000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76878465--0.76892246) × R
    0.000137810000000016 × 6371000     		dr = 877.987510000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23719178--0.23700003) × cos(-0.76878465) × R
    0.000191749999999991 × 0.71875618716082 × 6371000     		do = 878.060769415961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23719178--0.23700003) × cos(-0.76892246) × R
    0.000191749999999991 × 0.718660366250526 × 6371000     		du = 877.943710830975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76878465)-sin(-0.76892246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71875618716082-0.718660366250526)×R²
    abs(-0.23700003--0.23719178)×9.58209102943641e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58209102943641e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58209102943641e-05×40589641000000     		ar = 770875.001799857m²