Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15146 / 8606
↖ ↑ ↗
← N 64.633292°
W 13.601074°		 ← 523.36 m → N 64.633292°
W 13.590088°		 →
↑
523.38 m
↓
↑
523.38 m
↓
N 64.628585°
W 13.601074°		 ← 523.45 m →
273 940 m²		 N 64.628585°
W 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462234497070312 y=0.262649536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462234497070312 × 215)
    floor (0.462234497070312 × 32768)
    floor (15146.5)     		tx = 15146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262649536132812 × 215)
    floor (0.262649536132812 × 32768)
    floor (8606.5)     		ty = 8606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15146 / 8606 ti = "15/15146/8606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15146/8606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15146 ÷ 215
    15146 ÷ 32768     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8606 ÷ 215
    8606 ÷ 32768     		y = 0.26263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26263427734375 × 2 - 1) × π
    0.4747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49141282097919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49141282097919))-π/2
    2×atan(4.44336877108716)-π/2
    2×1.34943004053394-π/2
    2.69886008106789-1.57079632675     		φ = 1.12806375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12806375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.633292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15146 KachelY 8606 -0.23738353 1.12806375 -13.601074 64.633292
    Oben rechts KachelX + 1 15147 KachelY 8606 -0.23719178 1.12806375 -13.590088 64.633292
    Unten links KachelX 15146 KachelY + 1 8607 -0.23738353 1.12798160 -13.601074 64.628585
    Unten rechts KachelX + 1 15147 KachelY + 1 8607 -0.23719178 1.12798160 -13.590088 64.628585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12806375-1.12798160) × R
    8.2149999999892e-05 × 6371000     		dl = 523.377649999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12806375-1.12798160) × R
    8.2149999999892e-05 × 6371000     		dr = 523.377649999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23719178) × cos(1.12806375) × R
    0.000191750000000018 × 0.428410175150409 × 6371000     		do = 523.362685063164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23719178) × cos(1.12798160) × R
    0.000191750000000018 × 0.428484403161101 × 6371000     		du = 523.453364914474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12806375)-sin(1.12798160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428410175150409-0.428484403161101)×R²
    abs(-0.23719178--0.23738353)×7.42280106917348e-05×R²
    0.000191750000000018×7.42280106917348e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.42280106917348e-05×40589641000000     		ar = 273940.062262685m²