Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15146 / 8585
↖ ↑ ↗
← N 64.731952°
W 13.601074°		 ← 521.46 m → N 64.731952°
W 13.590088°		 →
↑
521.53 m
↓
↑
521.53 m
↓
N 64.727262°
W 13.601074°		 ← 521.55 m →
271 981 m²		 N 64.727262°
W 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462234497070312 y=0.262008666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462234497070312 × 215)
    floor (0.462234497070312 × 32768)
    floor (15146.5)     		tx = 15146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262008666992188 × 215)
    floor (0.262008666992188 × 32768)
    floor (8585.5)     		ty = 8585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15146 / 8585 ti = "15/15146/8585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15146/8585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15146 ÷ 215
    15146 ÷ 32768     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8585 ÷ 215
    8585 ÷ 32768     		y = 0.261993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261993408203125 × 2 - 1) × π
    0.47601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49543952054727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49543952054727))-π/2
    2×atan(4.46129695367667)-π/2
    2×1.35029101237631-π/2
    2.70058202475262-1.57079632675     		φ = 1.12978570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12978570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.731952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15146 KachelY 8585 -0.23738353 1.12978570 -13.601074 64.731952
    Oben rechts KachelX + 1 15147 KachelY 8585 -0.23719178 1.12978570 -13.590088 64.731952
    Unten links KachelX 15146 KachelY + 1 8586 -0.23738353 1.12970384 -13.601074 64.727262
    Unten rechts KachelX + 1 15147 KachelY + 1 8586 -0.23719178 1.12970384 -13.590088 64.727262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12978570-1.12970384) × R
    8.18600000001002e-05 × 6371000     		dl = 521.530060000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12978570-1.12970384) × R
    8.18600000001002e-05 × 6371000     		dr = 521.530060000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23719178) × cos(1.12978570) × R
    0.000191750000000018 × 0.426853613663791 × 6371000     		do = 521.461128456073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23719178) × cos(1.12970384) × R
    0.000191750000000018 × 0.426927639928923 × 6371000     		du = 521.55156184709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12978570)-sin(1.12970384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426853613663791-0.426927639928923)×R²
    abs(-0.23719178--0.23738353)×7.40262651327539e-05×R²
    0.000191750000000018×7.40262651327539e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.40262651327539e-05×40589641000000     		ar = 271981.235630245m²