Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15146 / 6695
↖ ↑ ↗
← N 72.265657°
W 13.601074°		 ← 372.12 m → N 72.265657°
W 13.590088°		 →
↑
372.13 m
↓
↑
372.13 m
↓
N 72.262310°
W 13.601074°		 ← 372.18 m →
138 488 m²		 N 72.262310°
W 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462234497070312 y=0.204330444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462234497070312 × 215)
    floor (0.462234497070312 × 32768)
    floor (15146.5)     		tx = 15146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204330444335938 × 215)
    floor (0.204330444335938 × 32768)
    floor (6695.5)     		ty = 6695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15146 / 6695 ti = "15/15146/6695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15146/6695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15146 ÷ 215
    15146 ÷ 32768     		x = 0.46221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6695 ÷ 215
    6695 ÷ 32768     		y = 0.204315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204315185546875 × 2 - 1) × π
    0.59136962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8578424816749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23738353} λ = -0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8578424816749))-π/2
    2×atan(6.40989238176167)-π/2
    2×1.41603498711048-π/2
    2.83206997422096-1.57079632675     		φ = 1.26127365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26127365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.265657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15146 KachelY 6695 -0.23738353 1.26127365 -13.601074 72.265657
    Oben rechts KachelX + 1 15147 KachelY 6695 -0.23719178 1.26127365 -13.590088 72.265657
    Unten links KachelX 15146 KachelY + 1 6696 -0.23738353 1.26121524 -13.601074 72.262310
    Unten rechts KachelX + 1 15147 KachelY + 1 6696 -0.23719178 1.26121524 -13.590088 72.262310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26127365-1.26121524) × R
    5.84099999998422e-05 × 6371000     		dl = 372.130109998995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26127365-1.26121524) × R
    5.84099999998422e-05 × 6371000     		dr = 372.130109998995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23738353--0.23719178) × cos(1.26127365) × R
    0.000191750000000018 × 0.304604030796911 × 6371000     		do = 372.11623972975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23738353--0.23719178) × cos(1.26121524) × R
    0.000191750000000018 × 0.304659664579917 × 6371000     		du = 372.184204142697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26127365)-sin(1.26121524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304604030796911-0.304659664579917)×R²
    abs(-0.23719178--0.23738353)×5.56337830066034e-05×R²
    0.000191750000000018×5.56337830066034e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.56337830066034e-05×40589641000000     		ar = 138488.30306425m²