Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15145 / 8569
↖ ↑ ↗
← N 64.806881°
W 13.612060°		 ← 519.99 m → N 64.806881°
W 13.601074°		 →
↑
520.06 m
↓
↑
520.06 m
↓
N 64.802204°
W 13.612060°		 ← 520.08 m →
270 451 m²		 N 64.802204°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462203979492188 y=0.261520385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462203979492188 × 215)
    floor (0.462203979492188 × 32768)
    floor (15145.5)     		tx = 15145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261520385742188 × 215)
    floor (0.261520385742188 × 32768)
    floor (8569.5)     		ty = 8569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15145 / 8569 ti = "15/15145/8569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15145/8569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15145 ÷ 215
    15145 ÷ 32768     		x = 0.462188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8569 ÷ 215
    8569 ÷ 32768     		y = 0.261505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.07562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23757527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261505126953125 × 2 - 1) × π
    0.47698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49850748212296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23757527} λ = -0.23757527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49850748212296))-π/2
    2×atan(4.47500505852557)-π/2
    2×1.3509448899496-π/2
    2.70188977989921-1.57079632675     		φ = 1.13109345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23757527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.612060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13109345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.806881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15145 KachelY 8569 -0.23757527 1.13109345 -13.612060 64.806881
    Oben rechts KachelX + 1 15146 KachelY 8569 -0.23738353 1.13109345 -13.601074 64.806881
    Unten links KachelX 15145 KachelY + 1 8570 -0.23757527 1.13101182 -13.612060 64.802204
    Unten rechts KachelX + 1 15146 KachelY + 1 8570 -0.23738353 1.13101182 -13.601074 64.802204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13109345-1.13101182) × R
    8.16300000001657e-05 × 6371000     		dl = 520.064730001056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13109345-1.13101182) × R
    8.16300000001657e-05 × 6371000     		dr = 520.064730001056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23757527--0.23738353) × cos(1.13109345) × R
    0.000191739999999996 × 0.42567062355452 × 6371000     		do = 519.988821830738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23757527--0.23738353) × cos(1.13101182) × R
    0.000191739999999996 × 0.425744487342035 × 6371000     		du = 520.079052026858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13109345)-sin(1.13101182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42567062355452-0.425744487342035)×R²
    abs(-0.23738353--0.23757527)×7.38637875146719e-05×R²
    0.000191739999999996×7.38637875146719e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.38637875146719e-05×40589641000000     		ar = 270451.309150173m²